La formula di inversione di Post per le trasformate di Laplace, dal nome di Emil Post, è una formula dall’aspetto semplice ma solitamente poco pratica per valutare una trasformata di Laplace inversa.

L’enunciato della formula è il seguente: Sia f(t) una funzione continua sull’intervallo [0, ∞) di ordine esponenziale, cioè

sup t > 0 f ( t ) e b t < ∞ {displaystyle \sup _{t>0}{frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }

per qualche numero reale b. Allora per tutti i s > b, la trasformata di Laplace per f(t) esiste ed è infinitamente differenziabile rispetto a s. Inoltre, se F(s) è la trasformata di Laplace di f(t), allora la trasformata inversa di Laplace di F(s) è data da

f ( t ) = L – 1 { F ( s ) } ( t ) = lim k → ∞ ( – 1 ) k k ! ( k t ) k + 1 F ( k ) ( k t ) {displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}{F(s)\(t)=\lim _{k\ a \infty }{frac {(-1)^{k}}{k!}} a sinistra({\frac {k}{t}} a destra)^{k+1}F^{(k)} a sinistra({\frac {k}{t} a destra)}

per t > 0, dove F(k) è la derivata k-esima di F rispetto a s.

Come si può vedere dalla formula, la necessità di valutare derivate di ordini arbitrariamente alti rende questa formula poco pratica per la maggior parte degli scopi.

Con l’avvento di potenti personal computer, i principali sforzi per utilizzare questa formula sono venuti dal trattare approssimazioni o analisi asintotiche della trasformata di Laplace inversa, utilizzando l’integrale di Grunwald-Letnikov per valutare le derivate.

L’inversione di Post ha suscitato interesse grazie al miglioramento della scienza computazionale e al fatto che non è necessario sapere dove si trovano i poli di F(s), il che rende possibile calcolare il comportamento asintotico per grandi x utilizzando le trasformate di Mellin inverse per diverse funzioni aritmetiche legate all’ipotesi di Riemann.