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Un’equazione funzionale, grosso modo, è un’equazione in cui alcune delle incognite da risolvere sono funzioni. Per esempio, le seguenti sono equazioni funzionali:

  • $f(x) + 2f\sinistra(\frac1x\destra) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

Temi introduttivi

L’inverso di una funzione

L’inverso di una funzione è una funzione che “annulla” una funzione. Per un esempio, si consideri la funzione $f(x) = x^2 + 6$. La funzione $g(x) = \sqrt{x-6}$ ha la proprietà che $f(g(x)) = x$. In questo caso, $g$ è chiamata la funzione (giusta) inversa. (Allo stesso modo, una funzione $g$ per cui $g(f(x))=x$ è chiamata funzione inversa sinistra. Di solito gli inversi destro e sinistro coincidono su un dominio adatto, e in questo caso chiamiamo semplicemente la funzione inversa destra e sinistra la funzione inversa). Spesso l’inverso di una funzione $f$ viene indicato con $f^{-1}$.

Temi intermedi

Funzioni cicliche

Una funzione ciclica è una funzione $f(x)$ che ha la proprietà che:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Un esempio classico di tale funzione è $f(x) = 1/x$ perché $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Le funzioni cicliche possono aiutare significativamente a risolvere le identità funzionali. Consideriamo questo problema:

Trova $f(x)$ tale che $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. In questa equazione funzionale, sia $x=y$ e sia $x = 1/y$. Questo produce due nuove equazioni:

$3f(y) - 4f\sinistra(\frac1y\destra) = y^2$

$3f\sinistra(\frac1y\destra)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Ora, se moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per 4, e sommiamo le due equazioni, abbiamo:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Quindi, chiaramente, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Esempi di problemi

  • 2006 AMC 12A Problema 18
  • 2007 AIME II Problema 14

Vedi anche

  • Funzioni
  • Polinomi
  • Equazione funzionale di Cauchy

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