Omotopia, in matematica, un modo di classificare le regioni geometriche studiando i diversi tipi di percorsi che possono essere tracciati nella regione. Due percorsi con punti finali comuni sono detti omotopici se uno può essere continuamente deformato nell’altro lasciando fissi i punti finali e rimanendo all’interno della sua regione definita. Nella parte A della figura, la regione ombreggiata ha un buco; f e g sono percorsi omotopici, ma g′ non è omotopico a f o g poiché g′ non può essere deformato in f o g senza passare attraverso il buco e lasciare la regione.

Più formalmente, l’omotopia consiste nel definire un percorso mappando i punti dell’intervallo da 0 a 1 in punti della regione in modo continuo, cioè in modo che punti vicini sull’intervallo corrispondano a punti vicini sul percorso. Una mappa di omotopia h(x, t) è una mappa continua che associa a due percorsi adatti, f(x) e g(x), una funzione di due variabili x e t che è uguale a f(x) quando t = 0 e uguale a g(x) quando t = 1. La mappa corrisponde all’idea intuitiva di una deformazione graduale senza uscire dalla regione quando t passa da 0 a 1. Per esempio, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) è una funzione omotopica per i percorsi f e g nella parte A della figura; i punti f(x) e g(x) sono uniti da un segmento di linea retta, e per ogni valore fisso di t, h(x, t) definisce un percorso che unisce gli stessi due punti finali. La classe di tutti questi percorsi omotopici in una data regione geometrica è chiamata classe di omotopia. All’insieme di tutte queste classi può essere data una struttura algebrica chiamata gruppo, il gruppo fondamentale della regione, la cui struttura varia a seconda del tipo di regione. In una regione senza buchi, tutti i percorsi chiusi sono omotopici e il gruppo fondamentale consiste di un solo elemento. In una regione con un solo foro, tutti i percorsi sono omotopici che si avvolgono attorno al foro lo stesso numero di volte. Nella figura, i percorsi a e b sono omotopici, così come i percorsi c e d, ma il percorso e non è omotopico a nessuno degli altri percorsi.

Si definiscono nello stesso modo i percorsi omotopici e il gruppo fondamentale delle regioni in tre o più dimensioni, così come su collettori generali. In dimensioni superiori si possono anche definire gruppi di omotopia di dimensioni superiori.