Introduzione

Preparare un oggetto, fare una misura su di esso e registrare il risultato costituiscono un quadro semplificato di un esperimento fisico sull’oggetto. Ripetere più volte la stessa procedura permette di raccogliere statistiche (frequenze relative) dei risultati registrati. L’idea di causalità statistica esprime allora la convinzione che questa statistica potrebbe essere approssimata e modellata da una misura di probabilità che dipende dalla misura e dalla preparazione.

Questa semplice immagine è spesso data come sfondo intuitivo nella formulazione di teorie fisiche probabilistiche degli oggetti, costruite sulla dualità statistica tra i concetti di stati (classi di equivalenza di preparati) e osservabili (classi di equivalenza di misure) dove la dualità è data da una funzione di probabilità che assegna ad ogni stato e ad ogni osservabile una misura di probabilità che mette fuori le probabilità di risultato della misura per questo osservabile in quello stato.

In un approccio assiomatico, si mira a introdurre strutture fisicamente plausibili per le collezioni di tutti gli stati concepibili (preparazioni) e osservabili (misure) tali che la forma della funzione di probabilità possa essere determinata.

In questo articolo, delineiamo un tale approccio per la meccanica quantistica. In §2, il quadro generale e le relative strutture dello spazio di Hilbert sono brevemente ricordati. In §3, un teorema di Solér viene utilizzato per identificare la struttura generale orto-modulare con una struttura hilbertiana. Viene esposto il ruolo della simmetria nascosta in questo teorema cruciale. Infine, si esaminano alcuni argomenti che indicano che la meccanica quantistica deve essere formulata in uno spazio di Hilbert complesso (§4).

Strutture di base

(a) Punto di partenza

Siamo due insiemi non vuoti, gli insiemi di tutti gli stati e di tutte le osservabili di un sistema fisico da studiare. Un’osservabile si accompagna a un insieme non vuoto Ω e a un’algebra sigma di sottoinsiemi di Ω. Lasciamo che , o semplicemente E, indichi un’osservabile. L’insieme Ω è preso per descrivere i possibili risultati di misurazione dell’osservabile, mentre gli elementi della σ-algebra sono intesi come gli insiemi di prova entro i quali si contano i gruppi di risultati. Nella maggior parte delle applicazioni, questo insieme è un sottoinsieme (aperto o chiuso) della linea (o del piano) reale e la σ-algebra è l’insieme Borel corrispondente.

L’assunzione di base dell’approccio qui seguito è la seguente: per ogni stato α∈S e per ogni osservabile E, esiste una misura di probabilità , che dà le probabilità di risultato della misurazione per l’osservabile E nello stato α.

L’insieme S degli stati è naturalmente dotato di una struttura convessa e come tale può essere visto come un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale. Questa struttura permette di distinguere tra gli stati puri, gli elementi estremi di S, e gli stati misti, i suoi elementi non estremi. Lasciamo che ex(S) denoti l’insieme degli stati puri anche se, per cominciare, può essere vuoto. Se α=λβ1+(1-λ)β2 è un misto degli stati β1,β2, con un peso 0≤λ≤1, allora, per definizione della struttura convessa di S, p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) per ogni osservabile E e un insieme di valori . Ogni coppia (E,X) definisce quindi una funzione affine S∋α↦p(α,E,X)∈. Diciamo che una funzione affine f:S→ è una funzione sperimentale, o effetto, se f(α)=p(α,E,X) per qualche coppia (E,X). Lasciamo che E⊂S denoti l’insieme di tutte le funzioni sperimentali. Chiaramente, 0,1∈E e se f∈E, allora anche f⊥=1-f∈E. L’ordine naturale delle funzioni S→ dà a E la struttura di un insieme parzialmente ordinato con i limiti universali 0,1, e la mappa f↦f⊥ è un antiautomorfismo involutivo. Chiaramente, E non ha bisogno di essere un reticolo (rispetto a ≤) e la mappa f↦f⊥ non ha bisogno di essere un ortocomplemento. Occasionalmente, possiamo anche considerare gli stati come funzioni su E scrivendo α(f)=f(α). Conservano sia l’ordine che l’involuzione.

Si scopre che nella formulazione degli assiomi per la teoria la coppia (S,E) di stati e funzioni sperimentali è più facile da gestire della coppia di stati e osservabili. Si noti anche che ogni f∈E, insieme a f⊥∈E, può essere intesa come una misura sì-no (o un’osservabile a due valori), con f(α)=p(α,E,X) e f⊥(α)=p(α,E,X′) che danno le probabilità per i risultati sì e no, rispettivamente.

(b) Caso dello spazio di Hilbert

Prima di proseguire con la struttura generale, ricordiamo alcuni aspetti noti della meccanica quantistica nello spazio di Hilbert. Supponiamo che l’insieme S degli stati possa essere identificato con l’insieme degli operatori positivi a traccia uno su uno spazio di Hilbert complesso separabile . Allora ogni funzione sperimentale f si estende ad un funzionale lineare positivo su , la classe di traccia autoadjoint. Quindi, per ogni f, esiste un unico operatore positivo unitario vincolato 0≤E≤I tale che f(α)=tr per tutti gli α∈S. Sia (E,X) una coppia per cui f(α)=p(α,E,X)=tr. Poiché, per qualsiasi α, la mappa X↦p(α,E,X) è una misura di probabilità, concludiamo che l’osservabile E è una misura operatore positiva normalizzata . Qui, è naturale assumere che l’insieme E di tutte le funzioni sperimentali sia identificato con l’insieme degli operatori d’effetto, operatori positivi vincolati all’unità su .

Assumiamo poi che l’insieme delle funzioni sperimentali E coincida con il reticolo di proiezione di . In questo caso, ogni stato può essere visto come una misura di probabilità su . Per il teorema di Gleason, se qualsiasi misura di probabilità su nasce da un unico operatore positivo trace one e si ha di nuovo la formula trace per le probabilità: per qualsiasi , P(α)=α(P)=tr, dove lo stato α è identificato con l’elemento di dato dal teorema di Gleason. In questo approccio, è naturale assumere che l’insieme S degli stati coincida con l’insieme di tutte le misure di probabilità su e quindi in modo che gli osservabili possano essere identificati con misure valutate in proiezione normalizzate .

Si potrebbe anche partire dall’ipotesi che l’insieme E delle funzioni sperimentali sia identificato con l’insieme degli operatori d’effetto. Allora, di nuovo, qualsiasi stato, quando è limitato al suo sottoinsieme , può essere identificato con un elemento di , con la formula di traccia che dà le probabilità.

Infine, si potrebbe assumere che e che qualsiasi stato α:E→ non solo conserva l’ordine e l’involuzione, ma è anche parzialmente additivo (cioè, per tutte le , se , allora α(A+B)=α(A)+α(B)) e ha la seguente proprietà di continuità: se (Ai)i∈I è una rete crescente in , allora . Allora, di nuovo, senza usare il teorema di Gleason, ogni stato α può essere identificato con un elemento unico di e α(E)=tr.

(c) Caso ortomodulare

(i) Struttura generale

In un approccio assiomatico basato sulla dualità statistica (S,E), la strategia è di porre ipotesi fisicamente plausibili riguardo alle possibilità di preparazioni e misure. Sia l’approccio Mackey (logica quantistica) che l’approccio Davies-Lewis (convessità) condividono questo sfondo comune.

Per le preparazioni, una tipica assunzione riguarda l’esistenza di un insieme sufficientemente grande di stati puri (stati di massima informazione), per esempio, nel senso che questo insieme è abbastanza grande da determinare l’ordine delle funzioni sperimentali. Un’altra assunzione comune è che gli stati puri non solo possono essere preparati ma anche identificati con opportune misure sì-no. Questa assunzione intreccia già gli insiemi di stati e di funzioni sperimentali, misure sì-no, al di là della dualità. Ulteriori assunzioni riguardanti la struttura dell’insieme E sono tipicamente formulate come un requisito per l’esistenza di un sottoinsieme sufficientemente grande L⊂E di misure sì-no che si qualificano come misure ideali, di primo tipo e ripetibili.

Dai lavori pionieristici di Mackey e Davies & Lewis , i suddetti tipi di argomenti sono stati ampiamente studiati in letteratura; vedi per esempio le monografie o la nostra recente indagine. Non ripetiamo questi argomenti ma ci limitiamo ad enunciare il ben noto risultato finale:

• (a) Esiste un sottoinsieme L⊂E di effetti, chiamati proposizioni o effetti nitidi, che ha una struttura L=(L,≤,⊥,0,1) di un reticolo parzialmente ordinato, ortocomplementato, ortomodulare, completo, con i limiti universali 0 e 1, che è atomista, separabile, ha la proprietà di copertura ed è irriducibile.

• (b) L’insieme S degli stati può essere visto come un insieme σ-convesso di misure di probabilità su L, che ha un insieme sufficiente ex(S) di stati puri: per qualsiasi a,b∈L, a≤b se α(a)≤α(b) per tutti α∈ex(S).

• (c) Esiste una corrispondenza biiettiva tra gli insiemi ex(S), gli stati puri di S, e At(L), gli atomi di L, data dalla proiezione del supporto α↦s(α), con s(α) che è il più piccolo elemento per cui α(b)=1,b∈L.

Commentiamo qui solo le due proprietà, forse, più tecniche: separabilità e irriducibilità. Qualsiasi osservabile E le cui funzioni sperimentali associate sono proposizioni (o effetti nitidi) può essere visto come σ-omorfismo , con l’intervallo che è una sottoalgebra booleana di L. La separabilità di L implica che qualsiasi sottoalgebra booleana di L può essere vista come un intervallo di un osservabile con lo spazio dei valori reali . L’irriducibilità di L mostra che la dualità (S,E) descrive un oggetto quantistico proprio. Infatti, questa proprietà segue, per esempio, dall’assunzione che per ogni due stati puri α,β∈ex(S), α≠β, ne esiste un terzo γ∈ex(S), α≠γ≠β, che è la loro sovrapposizione (ad es. nel senso che il supporto di γ è contenuto nell’unione dei supporti di α e β).

La mappa ⊥, quando è ristretta a L, è, infatti, un’ortocomplementazione e fa sì che L sia ortomodulare; cioè, per qualsiasi a,b∈L, se a≤b, allora b=a∨(a∧b⊥). Ricordiamo che a e b si dicono reciprocamente ortogonali, a⊥b, se a≤b⊥. Sono queste strutture che permettono di definire misure di probabilità su L. Sia Prob(L) l’insieme di tutte le misure di probabilità su L; cioè tutte le mappe μ:L→ per le quali per qualsiasi sequenza di elementi ortogonali a coppie ai∈L. Per il punto (b), l’insieme S degli stati è un sottoinsieme sigma-convesso di Prob(L), e, per (c), gli stati puri sono in corrispondenza uno-a-uno onto con gli atomi di L. Anche se ovvio, sottolineiamo che l’insieme degli stati può essere un sottoinsieme proprio di tutte le misure di probabilità su L.

L’insieme L delle proposizioni con le proprietà del precedente punto (a) è noto per ammettere una coordinazione dello spazio vettoriale.

(ii) Realizzazione dello spazio ortomodulare

Lasciamo che (V,K,*,f) sia uno spazio hermitiano, cioè V è uno spazio vettoriale (sinistro) su un anello di divisione K, la mappa K∋λ↦λ*∈K è un antiautomorfismo involutivo e la mappa V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K è una forma Hermitiana (non singolare).

Un sottospazio M⊂V si dice f-chiuso se M=M⊥⊥, dove

L’insieme Lf(V) di tutti i sottospazi f-chiusi di V forma un reticolo ortocomplementato completo irriducibile rispetto all’inclusione del sottoinsieme ⊆ e la mappa M↦M⊥. È anche atomistico e ha la proprietà di copertura. Contiene tutti i sottospazi finiti-dimensionali, e i sottospazi unidimensionali ={λv | λ∈K},v≠0, sono gli atomi di Lf(V). Il reticolo Lf(V) è noto per essere orto-modulare esattamente quando lo spazio (V,K,*,f) è orto-modulare; cioè, se per qualsiasi M∈Lf(V),

L’affermazione inversa è una raccolta di risultati fondamentali della geometria proiettiva. Prove dettagliate sono date nei libri di Varadarajan e Maeda & Maeda . Questo risultato presuppone che la lunghezza del reticolo L, cioè la lunghezza di una catena massima in L, sia almeno 4, cioè che lo spazio vettoriale V sia almeno tridimensionale.

Teorema 2.1

Se la lunghezza diè almeno 4, allora esiste uno spazio orto-modulare (V,K,*,f) tale che il reticolodei sottospazi f-chiusi di V è orto-isomorfo a, in breve, .

L’insieme S degli stati può ora essere identificato come un sottoinsieme di tutte le misure di probabilità su Lf(V), cioè S⊂Prob(Lf(V)); ogni α∈S ha il suo supporto s(α)∈Lf(V) e ogni M∈Lf(V) è un supporto di qualche α∈S. Inoltre, gli stati puri α∈ex(S) sono in corrispondenza uno a uno con gli atomi ∈Lf(V), e sono determinati unicamente dai loro valori sugli atomi, cioè dai numeri α()∈. Chiaramente, se (V,K,*,f) è uno spazio orto-modulare classico, cioè uno spazio di Hilbert su allora f è prodotto interno e per il teorema di Gleason

per qualsiasi v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. In questo caso, l’insieme Prob(Lf(V)) di tutte le misure di probabilità su Lf(V) coincide con l’insieme degli stati S dell’oggetto, perché ora.

Le precedenti strutture generali riguardanti la coppia (S,L), L⊂E, implicano che lo spazio vettoriale orto-modulare V deve ammettere un ricco insieme di misure di probabilità su Lf(V). Nel caso di dimensioni finite, questo non è sufficiente per trasformare lo spazio in uno spazio di Hilbert. Infatti, se , , , con la mappa identità come involuzione , allora è uno spazio orto-modulare. L’insieme è l’insieme di tutti i sottospazi di e per ognuno la formula precedente definisce una misura di probabilità su . Se denota il guscio σ-convesso di tutte queste misure di probabilità su , allora la coppia condivide tutte le proprietà elencate nei precedenti punti (a)-(c) anche se non è uno spazio di Hilbert. In questo caso, è un sottoinsieme proprio di . (Per i dettagli, vedi .) Esistono anche spazi orto-modulari infiniti che non sono spazi di Hilbert ma che ammettono ricchi insiemi di misure di probabilità . Tuttavia, è ancora una questione aperta se uno spazio orto-modulare infinito-dimensionale, con le proprietà (b) e (c), debba o non debba essere uno spazio di Hilbert.

Un teorema di Solér caratterizza gli spazi di Hilbert tra gli spazi orto-modulari infiniti-dimensionali con una proprietà che è, almeno, parzialmente aperta ad una giustificazione operativa. Ci occupiamo di questa questione nel prossimo articolo.

Teorema di Solér e simmetria

(a) Teorema di Solér

Consideriamo nuovamente la dualità statistica (S,E) con le proprietà (a)-(c) del §2c(i). Per la separabilità di L, qualsiasi famiglia di elementi reciprocamente ortogonali in L è al massimo countably infinita. È naturale assumere che tali sequenze considerevolmente infinite esistano; per esempio, nel caso più naturale in cui l’oggetto fisico da considerare può essere localizzato in uno spazio euclideo, questa condizione è garantita. Assumiamo quindi che esista almeno una sequenza infinita di atomi mutuamente ortogonali in L. In questo caso, lo spazio orto-modulare (V,K,*,f) associato a L è di dimensione infinita ed esiste almeno una sequenza infinita di vettori (ei)⊂V (non nulli) che è ortogonale; cioè, f(ei,ej)=0 per tutti gli i≠j. Il teorema di Solér caratterizza gli spazi di Hilbert tra tali spazi orto-modulari.

Teorema 3.1

Lasciamo che (V,K,*,f) sia uno spazio orto-modulare infinito. Se esiste una sequenza infinita ortogonalecon la proprietà

3.1

allora K è(numeri reali),(numeri complessi) o(quaternioni), e (V,K,*,f) è lo spazio di Hilbert corrispondente. Per, l’involuzione * è la mappa di identità; per, è la coniugazione complessa; e per, è la coniugazione quaternionica.

L’ulteriore “condizione di norma” (3.1) sembra abbastanza innocente ma è in realtà una condizione molto forte, come si può capire dal lavoro di Keller . Anche se questa proprietà è espressa in termini della forma f e non è direttamente collegata alle proprietà della dualità, ha una connessione con essa attraverso la teoria della simmetria.

(b) Simmetria

Ci sono diverse formulazioni naturali della nozione di simmetria in meccanica quantistica e tutte risultano essere equivalenti (es.) Questo rimane valido anche per le dualità statistiche con le proprietà (a)-(c) di §2c(i). Nell’ottica di applicare la teoria della simmetria nel contesto del teorema 3.1, adottiamo la seguente definizione della nozione di simmetria: una simmetria è una mappatura biiettiva ℓ:At(L)→At(L) che è tale che per qualsiasi p,q∈At(L), gli atomi p e q sono reciprocamente ortogonali se e solo se le loro immagini ℓ(p) e ℓ(q) sono tali. Ricordiamo che per Lf(V), gli atomi e sono ortogonali esattamente quando f(v′,u′)=0 per alcuni e quindi tutti i vettori non nulli v′∈, u′∈. Poiché gli atomi e gli stati puri sono in corrispondenza uno-a-uno su onto, possiamo altrettanto bene considerare una simmetria come una biiezione su ex(S), con l’intesa che l’ortogonalità reciproca degli stati puri significa l’ortogonalità reciproca degli atomi corrispondenti, i supporti degli stati puri.

Come nella teoria degli spazi di Hilbert, qualsiasi simmetria ℓ può essere implementata da una mappa S che agisce sullo spazio vettoriale sottostante V . Infatti, estendendo una simmetria ℓ:At(L)→At(L) a una proiettività di (V,K,*,f), cioè una biiezione che preserva l’ordine sul reticolo di tutti i sottospazi di V (es. ), il primo teorema fondamentale di rappresentazione della geometria proiettiva insieme alla versione infinito-dimensionale del teorema di Birkhoff-von Neumann dà il seguente risultato.

Teorema 3.2

Per ogni simmetria, esiste una mappa g-lineare biiettiva conservante l’ortogonalità S:V →V tale che per ogni v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Se T è un’altra mappa biiettiva h-lineare V →V che induce la stessa simmetria, allora esiste una λ∈K tale che Sv=λTv per qualsiasi v∈V . Inoltre, esiste un ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, tale che

3.2

per tutti gli u,v∈V .

Ricordiamo che la nozione di mappa g-lineare S:V →V significa che S è additiva su V, g:K→K è un isomorfismo e S(λv)=g(λ)Sv per tutti i v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Lasciamo che , siano due qualsiasi atomi reciprocamente ortogonali inLf(V). Se esistono vettorix′∈ ey′∈ non nulli tali che

allora esiste una simmetria ℓ che scambia gli atomi e , cioè ℓ()= e ℓ()= e ha come punto fisso una loro sovrapposizione, cioè esiste un atomo ≤∨ tale che ℓ()=.

Questo lemma, dimostrato in , suggerisce che affinché una dualità statistica (S,E) con le proprietà (a)-(c) di §2c(i) abbia una realizzazione nello spazio di Hilbert l’insieme delle simmetrie deve essere sufficientemente ricco. Vale la pena sottolineare che la nozione di sovrapposizione di stati puri, che è anche alla base dell’irriducibilità di L, gioca un ruolo in questo lemma. Inoltre, è interessante ricordare che un oggetto quantistico è elementare rispetto a un gruppo di simmetria G se esiste un omomorfismo di gruppo definito su G e che assume valori nell’insieme Sym(L) di tutte le simmetrie di At(L) tale che per ogni stato puro α∈ex(S) l’insieme {ℓg(α) | g∈G} è completo nel senso delle sovrapposizioni, cioè ogni altro stato puro β∈ex(S) può essere espresso come sovrapposizione di alcuni stati puri ℓg(α), g∈G .

Assumiamo ora che per ogni due atomi reciprocamente ortogonali e esiste una simmetria ℓ tale che ℓ()= e ℓ()= per qualche ≤∨. Sia S,g,ρ una tripla che implementa ℓ secondo il teorema 3.2. Per ogni y′∈, c’è un x′∈ tale che Sx′=y′. Allora, f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Supponendo che la forma f sia tale che per ogni v∈V il numero f(v,v) sia un elemento pendolare di K, cioè f(v,v)∈Cent(K), allora, per qualsiasi z′∈, Sz′=λz′ per qualche λ∈K, e quindi λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Questa equazione dà g(ρ)=λλ* a condizione che g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Allora anche f(y′,y′)=f(λx′,λx′), che è ciò che serve nel teorema 3.

Le osservazioni precedenti mostrano che se l’insieme delle simmetrie è sufficientemente abbondante nel senso che per ogni coppia di atomi ortogonali esiste una simmetria che scambia gli atomi e mantiene una loro sovrapposizione come punto fisso e se la forma f è sufficientemente regolare nel senso che per ogni v∈V , f(v,v)∈Cent(K) e g(f(v,v))=f(v,v) per qualsiasi automorfismo g di K, allora le condizioni del teorema di Solér sono soddisfatte, e quindi lo spazio orto-modulare infinito (V,f,*,K) che modella una dualità statistica (S,E), con le proprietà (a)-(c) di §2c(i), è uno spazio di Hilbert su o .

Concludiamo che fino alla questione della regolarità della forma la necessità di una realizzazione in uno spazio di Hilbert infinito-dimensionale della dualità statistica (S,E) di un sistema quantistico è ben compresa.

Il caso di

Ci rimane la questione della scelta del campo numerico. Non siamo in grado di dare una risposta definitiva a questa domanda, ma desideriamo segnalare alcuni risultati, fondamentalmente noti, che, presi insieme, sostengono la scelta del campo complesso come quello per la meccanica quantistica.

È noto che le strutture di base della meccanica quantistica sono ugualmente valide in ciascuno dei tre casi di uno spazio di Hilbert infinito-dimensionale su o . Per il teorema di Gleason, teorema 4.23, gli stati del sistema possono essere identificati con gli operatori positivi di traccia unitaria e gli osservabili come le misure normalizzate degli operatori positivi , con la formula di traccia tr che dà le probabilità di risultato della misura. Inoltre, gli osservabili nitidi (valutati in proiezione) sono in corrispondenza uno-a-uno con gli operatori autoadjoint , teorema 4.11; per uno studio sistematico della teoria degli operatori negli spazi quaternionici di Hilbert (es. ). Inoltre, con il teorema di Solér, il teorema 3.2 si riduce al teorema di Wigner, teorema 4.29.

È altrettanto noto che i tre casi presentano alcune notevoli differenze. È solo nel caso complesso che i gruppi unitari monoparametrici corrispondono, tramite il teorema di Stone, agli operatori autoaddizionali A che agiscono nella . Nei casi reali e quaternionici, questo implica importanti cambiamenti nella struttura degli osservabili definiti in termini delle loro proprietà di simmetria caratteristica (ad esempio, cap. 22, , cap. 18, ). Ricordiamo anche che ci sono trasformazioni di simmetria che possono essere realizzate solo nel caso complesso (es. ). Inoltre, la derivabilità delle relazioni di incertezza di preparazione di tipo Heisenberg-Kennard-Robertson e l’operazione di inversione temporale sembrano richiedere numeri complessi (ad esempio, p. 66, , , , pp. 47-49). In particolare, sembra che un’interpretazione sistematica della meccanica quantistica in uno spazio reale di Hilbert richieda effettivamente la sua incorporazione in uno complesso. Pertanto, anche se non per necessità logica, si potrebbe applicare il rasoio di Occam per mettere da parte il caso reale come una complicazione non necessaria rispetto alla formulazione della meccanica quantistica in uno spazio di Hilbert complesso.

E i quaternioni? Alla luce dell’ampia monografia di Adler, Meccanica quantistica quaternionica e campi quantistici, si potrebbe trovare fuori luogo mettere in discussione questa possibilità. Tuttavia, da un punto di vista matematico, e anche in accordo con , si potrebbe sottolineare che la maggior parte dei risultati importanti della teoria degli operatori negli spazi di Hilbert quaternionici sono ottenuti tramite una riduzione al caso complesso usando la tecnica dello ‘slice’ come applicata per esempio in . Pertanto, come nel caso reale, il rasoio di Occam potrebbe anche essere usato per escludere i quaternioni. C’è, tuttavia, un problema fondamentale con la meccanica quantistica quaternionica, il problema dei sistemi composti. Discuteremo brevemente questo punto nel seguito.

La teoria dei sistemi composti è una delle parti più essenziali della meccanica quantistica, sia dal punto di vista fondazionale che pratico. Pertanto, sia (S,L,E), (S1,L1,E1) e (S2,L2,E2) le descrizioni statistiche di tre sistemi quantistici propri e , rispettivamente, e lasciamo che , , i=1,2, diano le loro realizzazioni nello spazio di Hilbert, con K,Ki che sia uno di o in ogni caso.

Assumiamo che sia una composizione di e ; cioè e sono sottosistemi di e è composta da loro e da nient’altro. Questa idea porta ad alcune ovvie esigenze riguardanti le descrizioni statistiche dei tre sistemi (es., cap. 24). In particolare, devono esistere morfismi unitalici iniettivi (mappe di riconoscimento) hi:Li→L tali che per ogni a1∈L1,a2∈L2, le proposizioni h1(a1),h2(a2)∈L siano compatibili (misurabili congiuntamente), e per ogni due atomi (stati puri) p1∈At(L1) e p2∈At(L2), h1(p1)∧h2(p2) sia un atomo (stati puri) di L.

Analogamente al teorema 3.2, si può mostrare che la mappa

può, nel presente contesto, essere implementata da una mappa (g1,g2)-bilinearetale che

(vedi , teorema 2.22, oppure , teorema 9 e , teorema 24.4.1). In particolare, segue che i morfismi gi:Ki→K commutano con le rispettive involuzioni, cioè, per ogni λi∈Ki, e anche tra loro, cioè g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) per tutti i λi∈Ki.

Consideriamo ora il caso quaternionico; cioè, assumiamo che (e quindi anche ). Poiché ogni automorfismo di è interno, si ha ora che entrambi i gi sono della forma per qualche . Ma non c’è nessuna , con |c1|=|c2|=1, per la quale

possa tenere per tutte le. Questo ci porta a concludere che la meccanica quantistica su spazi Hilbert quaternionici non è in grado di descrivere sistemi composti come formalizzati in termini di mappe di riconoscimento descritte sopra. Chiaramente, questo risultato, dovuto a , è legato al problema del prodotto tensore degli spazi di Hilbert quaternionici (es. ).

D’altra parte, se , allora anche , teorema 12, nel qual caso le funzioni g1,g2 sono o l’identità o le coniugazioni complesse. I quattro casi (g1,g2) portano alle quattro soluzioni del prodotto tensore: , , e , con che è lo spazio duale di (vedi o , cap. 24). Sebbene gli spazi di Hilbert sottostanti siano isomorfi solo nelle coppie e , le logiche (tattiche di proiezione) sono isomorfe in ogni caso. Pertanto, le consideriamo come equivalenti, e scegliamo di usare , le altre scelte appaiono quindi piuttosto come complicazioni inutili.

Conclusione

Utilizzando il quadro generale delle teorie fisiche probabilistiche, si possono porre ipotesi fisicamente plausibili riguardo alle possibilità di preparazioni e misurazioni su un sistema fisico in modo che la teoria risultante prenda essenzialmente la forma della meccanica quantistica su uno spazio di Hilbert infinito-dimensionale sui numeri reali, i numeri complessi o i quaternioni. In ogni caso, le caratteristiche di base della meccanica quantistica rimangono valide: stati come operatori positivi in traccia uno, osservabili come misure di operatori positivi normalizzati e la regola di Born (la formula della traccia) che dà le probabilità di risultato della misurazione. Nei casi reali e quaternionici, tuttavia, la definizione di osservabili concreti in termini delle loro proprietà di simmetria naturale diventa complicata. Queste complicazioni possono comunque essere gestite, nel caso reale incorporando lo spazio di Hilbert reale in uno complesso, nel caso quaternionico riducendo la teoria alla teoria complessa. Pertanto, sembra che entrambe le opzioni implichino solo complicazioni inutili rispetto alla teoria complessa. Inoltre, la meccanica quantistica quaternionica soffre di essere incapace di descrivere sistemi composti.

Accessibilità dei dati

Questo articolo non ha dati aggiuntivi.

Contributi degli autori

Questo articolo è un sottoprodotto di una lunga collaborazione tra gli autori. Gli autori hanno uguali contributi reciprocamente intrecciati.

Interessi concorrenti

Dichiariamo di non avere interessi concorrenti.

Finanziamento

Non abbiamo ricevuto finanziamenti per questo studio.

Footnotes

Un contributo di 15 a un numero tematico ‘Second quantum revolution: foundational questions’.

Dedichiamo questo articolo al professor Maciej Ma̧czynski in occasione del suo 80° compleanno.