L’epoca classica fu un’epoca di fiorenti innovazioni e vide un’esplosione di manuja grantham: siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (spiegazioni di commenti), karanas, tantraa, e novità come vaakya-panchaangas, un numero sorprendente di cui sono stati conservati, editati, pubblicati e alcuni anche tradotti in inglese negli ultimi secoli. Critica, correzione, osservazione, raffinatezza, innovazione hanno segnato questo periodo di diversi secoli e attraverso varie geografie.
Una parentesi interessante per un economista, è la varietà di valute e monete (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) e pesi (pala, krosha) e misure (angula, hasta) discusse nei vari libri.
L’attenzione principale è sull’astronomia, ma ogni siddhanta discute anche di capitale, interesse, capitalizzazione, tasso di crescita e simili calcoli monetari.
Mahavira, il matematico giainista che compose il Ganita Saara Sangraha, scrisse il primo libro di matematica, privo di astronomia.
La struttura del suo libro è che le prime due o tre strofe di ogni capitolo spiegano un algoritmo o formula, e il resto delle strofe sono problemi di quel tipo che il lettore deve risolvere.
Il suo uso dei simboli Jaina, dei templi, dei metodi di culto, dei calcoli ecc. sono caratteristiche singolari del libro.
Mahavira si diletta in diversi tipi di frazioni: bhaaga (frazione semplice), prabhaaga (frazioni di frazioni), bhaagaabhaaga (frazioni complesse), e così via. Per esempio, un problema posto è il seguente:
दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्
गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥
divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam
Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya
Traduzione: L’uomo (purusha) che (asau) cammina (gacchati) per un quarto (caturtha-bhaaga) meno (unam) di sei (shaTka) yojanaas in tre (tribhi) e un quarto (paadai) giorni (divasau), dica (kataya) quanto (kim) cammina in un giorno (dina) e (yuta) un anno (varsha).
Bhaskaracharya
Il Lilavati di Bhaskara, autore anche del Siddhanta Siromani, è famoso anche a chi non conosce la matematica, come esempio di bella poesia, e ha una leggenda popolare intorno ad esso.
Come Mahavira, Bhaskara gettò diversi esempi dalla vita quotidiana per porre problemi di matematica, e come Varahamihira, si dilettò nel suo talento poetico.
Lilavati è di solito l’unico libro di matematica che i dizionari sanscriti citano. Ha ispirato innumerevoli commenti, nel corso dei secoli, la traduzione in più lingue ed è diventato il libro di testo standard della matematica indiana.
Bhaskara ha corretto la formula sbagliata di Aryabhata per il volume di una sfera, che è sfuggita anche a Brahmagupta (che ha corretto la formula sbagliata di Aryabhata per il volume di un tetraedro).
Ha anche dato volumi corretti per la superficie di una sfera. La sua metafora di una rete che copre una palla (kandukasya jaalam), per il volume della sfera, suggerisce che si era imbattuto nel germe dell’idea degli infinetismi e del calcolo. Ma questi campi si sarebbero sviluppati solo nei secoli successivi, in Kerala.
Bhaskara introdusse anche il concetto di kha-hara (un numero diviso per zero) per l’infinito (non solo il filosofico ananta (infinito).
Bhaskara fu anche tra i primi a fornire le prove di alcune delle sue derivazioni, e non lasciarle ai commentatori, o solo agli studenti. Dopo brevi esplorazioni di Pingala e Varahamihira, Bhaskara esplorò anche le permutazioni e le combinazioni.
Al tempo di Bhaskara, l’algebra si era sviluppata in uno stato avanzato. Egli riconosce di aver costruito sui lavori dei suoi predecessori Sridhara e Padmanabha.
Prospettiva storica
I matematici indiani hanno usato radici quadrate irrazionali per mille anni e seni e coseni per diversi secoli prima di scoprire i numeri negativi. L’ispirazione per i numeri negativi viene dal commercio e dalla nozione di debito, non da una filosofia religiosa.
Ci sono voluti sei secoli e un Bhaskara per correggere l’errore del volume della sfera di Aryabhata. Bhaskara si rese conto che la divisione per zero produce l’infinito, ma non ne comprese appieno le conseguenze.
Dalla serie finita di Aryabhata alla serie infinita di Virasena ci vollero solo due secoli.