Questo fa parte di una serie di idee sbagliate comuni.

Vero o falso?

L’infinito è il numero alla fine della linea dei numeri reali.

Perché alcuni dicono che è vero: perché l’infinito è il numero che è più grande di tutti gli altri numeri.

Perché alcuni dicono che è falso: perché l’infinito non è un numero e la linea dei numeri non ha una fine.

L’affermazione è falsa \color{#D61F06}{textbf{false}}false.

Prova:

L’idea sbagliata che funziona qui è che “se si continua a continuare lungo la linea dei numeri oltre a numeri sempre più grandi, allora alla fine i numeri si fermano (da qualche parte dopo il punto in cui l’insegnante si stanca di fare segni di tic), e ci sarà un segno di infinito (∞\infty∞) a segnare la fine della linea dei numeri”. In alternativa, alcuni dicono che “l’infinito è alla fine della linea dei numeri, ma ci sono ancora infiniti numeri inferiori all’infinito e tra l’infinito e qualsiasi altro punto sulla linea”. Entrambe queste nozioni hanno radici in concetti legati al calcolo; tuttavia, sono entrambe fondamentalmente errate.

Quando il vostro insegnante “termina la linea dei numeri” con ∞infty∞, questa è in realtà una stenografia fuorviante per rappresentare che la linea dei numeri continua per sempre. Un modo meno fuorviante di rappresentare questa nozione potrebbe essere quello di estendere la linea dei numeri con una freccia. Potremmo inoltre indicare che i numeri interi continuano dopo che abbiamo deciso di smettere di registrarli usando la notazione comune di serie a termine generale: “…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” per descrivere, in questo caso, l’insieme di tutti i numeri interi non negativi. Questo insieme è anche comunemente noto come “numeri naturali (N\mathbb{N}N)” o come “numeri interi non negativi”.

L’equivoco sta nello scegliere di trattare ∞infty∞ come un numero intero o come uno dei numeri reali. Questo non equivale a credere che ∞infty∞ sia “reale” o “irreale” nel senso inglese della parola. L’infinito è un concetto “reale” e utile. Tuttavia, l’infinito non è un membro dell’insieme matematicamente definito dei “numeri reali” e, quindi, non è un numero sulla linea dei numeri reali.

L’insieme dei numeri reali, R\mathbb{R}R, viene spiegato invece che definito nella maggior parte delle scuole pre-universitarie. E, anche allora, di solito è spiegato solo brevemente, con una descrizione del tipo “tutti i punti su una linea di numeri”, e con l’ulteriore seguito che “i numeri reali negativi sono a sinistra di 0 e i numeri positivi sono quelli a destra di 0”.

A molti studenti non viene insegnata una definizione rigorosa dei numeri reali, a meno che non diventino matematici all’università. Una delle definizioni più comuni da imparare allora è che i numeri reali sono l’insieme dei tagli di Dedekind dei numeri razionali. Data qualsiasi definizione rigorosa dei numeri reali, è immediatamente evidente che “l’infinito” non è un membro dell’insieme dei numeri reali.

Confutazione: Nello studio dei limiti, l’infinito (∞infty∞) è trattato come qualsiasi altro numero. Perché lo facciamo nel calcolo se l’infinito non è effettivamente un numero?

Risposta: A molti vengono insegnati i limiti nel precalcolo o nel calcolo esattamente come lei descrive, e il modo in cui l’infinito viene trattato suggerisce, in modo fuorviante, che l’infinito è solo un altro numero. Per esempio, data una funzione con un asintoto orizzontale a 5, potremmo dire che il limite di f(x)f(x)f(x) come xxx si avvicina all’infinito è cinque: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, e se f(x)f(x)f(x) ha un asintoto verticale a 171717, ci viene insegnato a dire che f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Questa è la prima esposizione di molti studenti a ∞infty∞, ed è un’introduzione molto fuorviante poiché implica che ∞infty∞ può essere trattato come un numero che è semplicemente “più grande di tutti gli altri numeri.”

Tuttavia, in questo contesto, l’infinito è solo un’abbreviazione per una nozione ben definita di una funzione che non ha un limite di alcun valore reale, ma che invece cresce per sempre senza limiti. Vedi il wiki sui limiti delle funzioni per maggiori dettagli!

Risposta: Ho sicuramente visto l’infinito nei libri di testo di matematica, e a volte è definito come un numero più grande di tutti i numeri non-infiniti. Perché è lì se non è un vero concetto matematico?

Risposta: Ci sono effettivamente insiemi di numeri matematici, come i numeri cardinali e i numeri ordinali, in cui molte versioni diversamente definite di ∞infty∞ sono numeri. E sistemi di numeri rigorosamente definiti che includono ∞infty∞ hanno molte applicazioni preziose. Per esempio, nell’insieme dei numeri cardinali, l’infinito è in realtà una misura di quanti numeri reali ci sono. Tuttavia, l’insieme dei numeri reali R\mathbb{R}R è definito in modo da omettere qualsiasi versione di infinito.

Inoltre, quando consideriamo i numeri cardinali, dobbiamo cambiare la nostra intuizione sull’infinito: non è un numero nel senso della “linea dei numeri”, come si applicano i reali. Invece, è un concetto per misurare e confrontare le dimensioni degli insiemi.

Vedi anche

• Numeri reali
• Rappresentazione sulla linea reale
• Tagli di Dedekind
• Limiti di funzioni
• Lista degli errori comuni