Elettrodinamica quantisticaModifica

Fino all’avvento della meccanica quantistica, l’unico esempio ben noto di simmetria di gauge era nell’elettromagnetismo, e il significato generale del concetto non era pienamente compreso. Per esempio, non era chiaro se le quantità fondamentali fossero i campi E e B o i potenziali V e A; se erano i primi, allora le trasformazioni di gauge potevano essere considerate nient’altro che un trucco matematico.

Esperimento Aharonov-BohmModifica

In meccanica quantistica, una particella come un elettrone è anche descritta come un’onda. Per esempio, se l’esperimento della doppia fenditura viene eseguito con gli elettroni, si osserva un modello di interferenza simile all’onda. L’elettrone ha la più alta probabilità di essere rilevato nei punti in cui le parti dell’onda che passano attraverso le due fenditure sono in fase tra loro, con conseguente interferenza costruttiva. La frequenza dell’onda dell’elettrone è legata all’energia cinetica di una singola particella di elettrone tramite la relazione quantomeccanica E = hf. Se non ci sono campi elettrici o magnetici in questo esperimento, allora l’energia dell’elettrone è costante e, per esempio, ci sarà un’alta probabilità di rilevare l’elettrone lungo l’asse centrale dell’esperimento, dove per simmetria le due parti dell’onda sono in fase.

Ma ora supponiamo che gli elettroni nell’esperimento siano soggetti a campi elettrici o magnetici. Per esempio, se un campo elettrico fosse imposto su un lato dell’asse ma non sull’altro, i risultati dell’esperimento sarebbero influenzati. La parte dell’onda dell’elettrone che passa per quel lato oscilla ad una velocità diversa, poiché alla sua energia sono stati aggiunti -eV, dove -e è la carica dell’elettrone e V il potenziale elettrico. I risultati dell’esperimento saranno diversi, perché le relazioni di fase tra le due parti dell’onda elettronica sono cambiate, e quindi le posizioni di interferenza costruttiva e distruttiva saranno spostate da una parte o dall’altra. È il potenziale elettrico che si verifica qui, non il campo elettrico, e questa è una manifestazione del fatto che sono i potenziali e non i campi ad avere un significato fondamentale nella meccanica quantistica.

Spiegazione con i potenzialiModifica

È persino possibile avere casi in cui i risultati di un esperimento differiscono quando i potenziali vengono cambiati, anche se nessuna particella carica è mai esposta a un campo diverso. Uno di questi esempi è l’effetto Aharonov-Bohm, mostrato in figura. In questo esempio, l’accensione del solenoide provoca solo un campo magnetico B all’interno del solenoide. Ma il solenoide è stato posizionato in modo che l’elettrone non possa passare al suo interno. Se si credesse che i campi sono le quantità fondamentali, allora ci si aspetterebbe che i risultati dell’esperimento siano invariati. In realtà, i risultati sono diversi, perché l’accensione del solenoide ha cambiato il potenziale vettoriale A nella regione in cui gli elettroni passano. Ora che è stato stabilito che sono i potenziali V e A ad essere fondamentali, e non i campi E e B, possiamo vedere che le trasformazioni di gauge, che cambiano V e A, hanno un reale significato fisico, piuttosto che essere solo artefatti matematici.

Invarianza di gauge: i risultati degli esperimenti sono indipendenti dalla scelta del gauge per i potenzialiModifica

Nota che in questi esperimenti, la sola quantità che influenza il risultato è la differenza di fase tra le due parti dell’onda elettronica. Supponiamo di immaginare le due parti dell’onda elettronica come minuscoli orologi, ciascuno con una sola lancetta che gira in cerchio, tenendo traccia della propria fase. Anche se questa vignetta ignora alcuni dettagli tecnici, mantiene i fenomeni fisici che sono importanti qui. Se entrambi gli orologi vengono accelerati della stessa quantità, la relazione di fase tra loro è invariata, e i risultati degli esperimenti sono gli stessi. Non solo, ma non è nemmeno necessario cambiare la velocità di ciascun orologio di una quantità fissa. Potremmo cambiare l’angolo della lancetta di ogni orologio di una quantità variabile θ, dove θ potrebbe dipendere sia dalla posizione nello spazio che dal tempo. Questo non avrebbe alcun effetto sul risultato dell’esperimento, poiché l’osservazione finale della posizione dell’elettrone avviene in un unico luogo e tempo, così che lo spostamento di fase nell'”orologio” di ogni elettrone sarebbe lo stesso, e i due effetti si annullerebbero. Questo è un altro esempio di trasformazione di gauge: è locale, e non cambia i risultati degli esperimenti.

SommarioModifica

In sintesi, la simmetria di gauge raggiunge la sua piena importanza nel contesto della meccanica quantistica. Nell’applicazione della meccanica quantistica all’elettromagnetismo, cioè l’elettrodinamica quantistica, la simmetria di gauge si applica sia alle onde elettromagnetiche che alle onde elettroniche. Queste due simmetrie di gauge sono infatti intimamente legate. Se una trasformazione di gauge θ viene applicata alle onde elettroniche, per esempio, allora si deve applicare anche una trasformazione corrispondente ai potenziali che descrivono le onde elettromagnetiche. La simmetria di gauge è necessaria per rendere l’elettrodinamica quantistica una teoria rinormalizzabile, cioè una teoria in cui le previsioni calcolate di tutte le quantità fisicamente misurabili sono finite.

Tipi di simmetrie di gaugeModifica

La descrizione degli elettroni nella sottosezione precedente come piccoli orologi è in effetti una dichiarazione delle regole matematiche secondo le quali le fasi degli elettroni devono essere aggiunte e sottratte: devono essere trattate come numeri ordinari, tranne che nel caso in cui il risultato del calcolo cada al di fuori dell’intervallo di 0≤θ<360°, lo costringiamo ad “avvolgersi” nell’intervallo consentito, che copre un cerchio. Un altro modo di dire questo è che un angolo di fase di, diciamo, 5° è considerato completamente equivalente a un angolo di 365°. Gli esperimenti hanno verificato questa affermazione testabile sui modelli di interferenza formati dalle onde elettroniche. Ad eccezione della proprietà “wrap-around”, le proprietà algebriche di questa struttura matematica sono esattamente le stesse di quelle dei numeri reali ordinari.

Nella terminologia matematica, le fasi degli elettroni formano un gruppo abeliano sotto addizione, chiamato gruppo circolare o U(1). “Abeliano” significa che l’addizione commuta, così che θ + φ = φ + θ. Gruppo significa che l’addizione associa e ha un elemento identico, cioè “0”. Inoltre, per ogni fase esiste un inverso tale che la somma di una fase e del suo inverso è 0. Altri esempi di gruppi abeliani sono gli interi sotto addizione, 0 e negazione, e le frazioni non nulle sotto prodotto, 1 e reciproco.

Come modo di visualizzare la scelta di un calibro, considera se è possibile dire se un cilindro è stato attorcigliato. Se il cilindro non ha urti, segni o graffi su di esso, non possiamo dirlo. Potremmo, tuttavia, disegnare una curva arbitraria lungo il cilindro, definita da qualche funzione θ(x), dove x misura la distanza lungo l’asse del cilindro. Una volta che questa scelta arbitraria (la scelta del calibro) è stata fatta, diventa possibile rilevarla se qualcuno in seguito torce il cilindro.

Nel 1954, Chen Ning Yang e Robert Mills proposero di generalizzare queste idee ai gruppi non commutativi. Un gruppo di gauge non commutativo può descrivere un campo che, a differenza del campo elettromagnetico, interagisce con se stesso. Per esempio, la relatività generale afferma che i campi gravitazionali hanno energia, e la relatività speciale conclude che l’energia è equivalente alla massa. Quindi un campo gravitazionale induce un ulteriore campo gravitazionale. Anche le forze nucleari hanno questa proprietà di auto-interazione.

Bosoni di gaugeModifica

Sorprendentemente, la simmetria di gauge può dare una spiegazione più profonda dell’esistenza delle interazioni, come le interazioni elettriche e nucleari. Ciò deriva da un tipo di simmetria di gauge relativa al fatto che tutte le particelle di un dato tipo sono sperimentalmente indistinguibili le une dalle altre. Immaginate che Alice e Betty siano gemelle identiche, etichettate alla nascita da braccialetti con la scritta A e B. Poiché le ragazze sono identiche, nessuno sarebbe in grado di dire se fossero state scambiate alla nascita; le etichette A e B sono arbitrarie e possono essere scambiate. Un tale scambio permanente delle loro identità è come una simmetria di gauge globale. C’è anche una simmetria di gauge locale corrispondente, che descrive il fatto che da un momento all’altro, Alice e Betty potrebbero scambiarsi i ruoli mentre nessuno guarda, e nessuno sarebbe in grado di dirlo. Se osserviamo che il vaso preferito della mamma è rotto, possiamo solo dedurre che la colpa è di un gemello o dell’altro, ma non possiamo dire se la colpa è al 100% di Alice e allo 0% di Betty, o viceversa. Se Alice e Betty sono di fatto particelle quantomeccaniche piuttosto che persone, allora hanno anche proprietà ondulatorie, inclusa la proprietà della sovrapposizione, che permette di aggiungere, sottrarre e mescolare arbitrariamente le onde. Ne consegue che non siamo nemmeno limitati a scambi completi di identità. Per esempio, se osserviamo che una certa quantità di energia esiste in una certa posizione nello spazio, non c’è nessun esperimento che possa dirci se questa energia è 100% A e 0% B, 0% A e 100% B, o 20% A e 80% B, o qualche altra miscela. Il fatto che la simmetria sia locale significa che non possiamo nemmeno contare sul fatto che queste proporzioni rimangano fisse mentre le particelle si propagano nello spazio. I dettagli di come questo viene rappresentato matematicamente dipendono da questioni tecniche relative agli spin delle particelle, ma per i nostri scopi attuali consideriamo una particella senza spin, per la quale si scopre che il mescolamento può essere specificato da qualche scelta arbitraria del calibro θ(x), dove un angolo θ = 0° rappresenta 100% A e 0% B, θ = 90° significa 0% A e 100% B, e gli angoli intermedi rappresentano miscele.

Secondo i principi della meccanica quantistica, le particelle non hanno effettivamente traiettorie nello spazio. Il moto può essere descritto solo in termini di onde, e la quantità di moto p di una singola particella è legata alla sua lunghezza d’onda λ da p = h/λ. In termini di misurazioni empiriche, la lunghezza d’onda può essere determinata solo osservando un cambiamento nell’onda tra un punto nello spazio e un altro punto vicino (matematicamente, per differenziazione). Un’onda con una lunghezza d’onda più corta oscilla più rapidamente, e quindi cambia più rapidamente tra punti vicini. Ora supponiamo di fissare arbitrariamente un misuratore in un punto dello spazio, dicendo che l’energia in quel punto è del 20% di A e dell’80% di B. Misuriamo poi le due onde in qualche altro punto vicino, per determinare le loro lunghezze d’onda. Ma ci sono due ragioni completamente diverse per cui le onde potrebbero essere cambiate. Potrebbero essere cambiate perché stavano oscillando con una certa lunghezza d’onda, o potrebbero essere cambiate perché la funzione di gauge è cambiata da una miscela 20-80 a, diciamo, 21-79. Se ignoriamo la seconda possibilità, la teoria risultante non funziona; appariranno strane discrepanze nella quantità di moto, violando il principio di conservazione della quantità di moto. Qualcosa nella teoria deve essere cambiato.

Ancora una volta ci sono problemi tecnici relativi allo spin, ma in diversi casi importanti, tra cui particelle elettricamente cariche e particelle che interagiscono attraverso le forze nucleari, la soluzione al problema è di imputare la realtà fisica alla funzione di gauge θ(x). Diciamo che se la funzione θ oscilla, essa rappresenta un nuovo tipo di onda quantomeccanica, e questa nuova onda ha la sua propria quantità di moto p = h/λ, che si rivela per rattoppare le discrepanze che altrimenti avrebbero rotto la conservazione della quantità di moto. Nel contesto dell’elettromagnetismo, le particelle A e B sarebbero particelle cariche come gli elettroni, e l’onda meccanica quantistica rappresentata da θ sarebbe il campo elettromagnetico. (Qui ignoriamo i problemi tecnici sollevati dal fatto che gli elettroni in realtà hanno spin 1/2, non spin zero. Questa semplificazione eccessiva è la ragione per cui il campo di gauge θ risulta essere uno scalare, mentre il campo elettromagnetico è effettivamente rappresentato da un vettore composto da V e A). Il risultato è che abbiamo una spiegazione per la presenza di interazioni elettromagnetiche: se cerchiamo di costruire una teoria gauge-simmetrica di particelle identiche e non interagenti, il risultato non è autoconsistente, e può essere riparato solo aggiungendo campi elettrici e magnetici che fanno interagire le particelle.

Anche se la funzione θ(x) descrive un’onda, le leggi della meccanica quantistica richiedono che abbia anche proprietà di particella. Nel caso dell’elettromagnetismo, la particella corrispondente alle onde elettromagnetiche è il fotone. In generale, tali particelle sono chiamate bosoni di gauge, dove il termine “bosone” si riferisce a una particella con spin intero. Nelle versioni più semplici della teoria, i bosoni di gauge sono senza massa, ma è anche possibile costruire versioni in cui hanno massa, come nel caso dei bosoni di gauge che trasmettono le forze di decadimento nucleare.