Suono di Puget dal cielo, come visto lo scorso inverno. (Foto: EcologyWA/Public Domain)

Immagina, per un momento, che tu e il tuo amico abbiate ricevuto un compito apparentemente semplice: misurare la linea costiera di Puget Sound, nello stato di Washington. Le risorse sono limitate, quindi tu hai un metro, mentre il tuo amico ha un righello lungo un piede. Ognuno di voi cammina, ponendo il suo bastone di misurazione lungo il bordo dell’acqua, seguendo gli ins e gli out della riva come meglio può. Quando avete finito, confrontate le note – e siete scioccati. Mentre tu hai concluso con un rispettabile 3.000 miglia, il tuo amico e il suo piede lungo hanno ottenuto un numero molto più alto, circa 4.500 miglia.

Non siete pazzi. Siete vittime del paradosso della linea di costa, un complicato principio matematico che incasina i cartografi, mette in difficoltà gli uffici governativi e rende impossibile sapere esattamente quanto è grande il nostro mondo.

Il paradosso della linea di costa, in una comoda gif. (Image: Branden Rishel)

Le persone sono state confuse dalle linee di costa almeno dal quinto secolo a.C., quando i marinai ateniesi furono incaricati di misurare la costa della Sardegna e tornarono indietro sconcertati. Ma il paradosso si è rivelato per la prima volta in modo rigoroso nel 1951, durante uno studio sui conflitti armati. Lewis Fry Richardson, un pacifista e matematico, stava cercando di capire se la lunghezza della frontiera condivisa da due paesi avesse una qualche attinenza con la possibilità o meno di entrare in guerra.

Ha visto disaccordo anche nella fase di raccolta dei dati – mentre cercava la lunghezza della frontiera Spagna-Portogallo, ha trovato che la Spagna l’aveva tracciata a 987 km, mentre il Portogallo diceva 1214 km. Affascinato da questa scoperta, approfondì l’argomento e scoprì che non solo le lunghezze delle coste e di certi confini sono estremamente variabili, ma se si ha un bastone di misura abbastanza piccolo, ognuno è effettivamente infinitamente lungo.

Questa linea di pensiero fu presto ripresa dal matematico Benoit Mandelbrot, in un articolo del 1967 chiamato “Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? “Ecco una domanda, un punto fermo della geometria delle scuole elementari che, se ci pensi, è impossibile”, disse più tardi al New York Times. Per affrontarla – e per misurare altre forme altrettanto stravaganti, come nuvole, fiocchi di neve e montagne – Mandelbrot ha inventato il concetto di frattale, una curva che diventa più complessa quanto più la si guarda da vicino.

L’insieme Mandelbrot, un frattale che probabilmente vi è familiare dalla copertina di un libro di testo di matematica. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)

Considerato astrattamente, il paradosso della linea di costa è una cosa impressionante, una prova dell’impossibilità di fissare tutto, e dell’irriducibilità essenziale del nostro mondo. A livello pratico, però, è un dolore enorme, dice Branden Rishel, un cartografo che lavora sul ripristino della linea di costa nel Puget Sound. Come gran parte dello Stato di Washington, il Puget Sound è pieno di fiordi, infiniti angoli e fessure scavati nella terra dai ghiacciai 15.000 anni fa. I fiordi aggiungono un sacco di follia a una linea costiera – la Norvegia, per esempio, ha circa 18.000 miglia di costa con fiordi, e solo 1573 miglia se li si lascia fuori.

In cima alla pura stranezza matematica, le coste cambiano costantemente, dice Rishel. Le scogliere si erodono, il livello del mare si alza, le masse di terra lentamente rimbalzano da dove i ghiacciai le hanno spinte. Ogni giorno, le maree entrano, spostando la linea di galleggiamento di tre metri, e poi di nuovo fuori. “Le spiagge cambiano forma ad ogni onda”, dice Rishel. “Come si può fissare questo?”

Non si può, neanche quando si vuole. Nel 2006, il Congressional Research Service ha pubblicato un memo chiamato “U.S. International Borders: Brief Facts”, inteso a garantire che tutti fossero sulla stessa pagina circa l’esatto ammontare del confine che dobbiamo pensare di mettere in sicurezza. Ma ancora una volta, non c’era nemmeno una stessa pagina su cui stare. “I dati della ‘linea di costa generale’ in questo rapporto sono basati su carte nautiche su larga scala, con il risultato di una misura della linea di costa per i 50 stati per un totale di 12.383 miglia”, si legge nel rapporto. “Un’altra misura che utilizza carte nautiche su scala più piccola raddoppia questa misura a 29.093 miglia… mentre le cifre usate dal NOAA nell’amministrare il programma di gestione delle zone costiere arrivano a 88.612 miglia (non includendo i Grandi Laghi).”

Lo Stato di Washington da molto in alto. (Foto: NASA/Public Domain)

A volte, però, la gente deve trovare un modo per mettersi d’accordo. Nello Stato di Washington, gli esperti come Rishel usano quello che viene chiamato “ShoreZone Shoreline”, che è stato disegnato dal Dipartimento delle Risorse Naturali di Washington alla fine degli anni ’90, sulla base di foto e video presi da elicotteri che volano a bassa quota. La versione ShoreZone della linea costiera di Puget Sound è lunga circa 2.500 miglia, dice Rishel – un numero gestibile, o almeno meglio di “infinito”. Accordandosi su questa approssimazione, le persone che lavorano per ripristinare le spiagge, tracciare dove si riproducono i pesci o costruire case sul lungomare possono essere sicuri di parlare la stessa lingua geografica.

Ma il tentativo di standardizzazione ha i suoi difetti. Il litorale ShoreZone tratta alcune strutture artificiali, come certi moli, come se fossero parte della linea di costa, e ne lascia fuori altre. “A volte la linea costiera ShoreZone è a decine di metri da dove dovrebbe essere qualsiasi linea costiera rispettabile”, dice Rishel. “In un posto è a 800 piedi di distanza e c’è una pista d’atterraggio in quella che dovrebbe essere l’acqua”. È persino riuscito a mancare un’intera isola.

Rishel si aspetta che ShoreZone venga presto aggiornato con i dati LiDAR, che sostituisce le telecamere e gli occhi umani con misurazioni laser più precise, prese dagli aerei. Tuttavia, non sarà perfetto. “Nel corso del mese o due necessari per volare, anche il miglior LiDAR avrebbe catturato un’istantanea sfocata del Sound”, dice. “I profili delle spiagge invernali sono drasticamente diversi da quelli estivi. Le scogliere continuano a erodere. Succedono frane.”

Questo è quello che succede quando cerchiamo di lavorare con qualcosa che è letteralmente infinito – dobbiamo solo fare il meglio che possiamo.