Legge di Bernoulli
Finora ci siamo concentrati sui fluidi a riposo. Questa sezione si occupa di fluidi che sono in movimento in modo costante, in modo tale che la velocità del fluido in ogni dato punto dello spazio non cambia nel tempo. Qualsiasi modello di flusso che sia stabile in questo senso può essere visto in termini di un insieme di linee di flusso, le traiettorie di particelle immaginarie sospese nel fluido e trasportate insieme ad esso. In un flusso costante, il fluido è in movimento ma le linee di flusso sono fisse. Dove le linee di flusso si affollano, la velocità del fluido è relativamente alta; dove si aprono, il fluido diventa relativamente stagnante.
Quando Euler e Bernoulli stavano gettando le basi dell’idrodinamica, trattarono il fluido come una sostanza inviscida idealizzata in cui, come in un fluido a riposo in equilibrio, le tensioni di taglio associate alla viscosità sono zero e la pressione p è isotropa. Arrivarono a una semplice legge che mette in relazione la variazione di p lungo una linea di flusso con la variazione di v (il principio è accreditato a Bernoulli, ma Eulero sembra esserci arrivato per primo), che serve a spiegare molti dei fenomeni che i fluidi reali in moto costante mostrano. Alla domanda inevitabile di quando e perché è giustificabile trascurare la viscosità, non c’è una risposta unica. Alcune risposte verranno fornite più avanti in questo articolo, ma prima verranno affrontate altre questioni.
Consideriamo un piccolo elemento di fluido di massa m, sul quale – a parte la forza di gravità – agisce solo una pressione p. Quest’ultima è isotropa e non varia nel tempo, ma può variare da punto a punto nello spazio. È una nota conseguenza delle leggi del moto di Newton che, quando una particella di massa m si muove sotto l’influenza del suo peso mg e di una forza addizionale F da un punto P dove la sua velocità è vP e la sua altezza è zP a un punto Q dove la sua velocità è vQ e la sua altezza è zQ, il lavoro fatto dalla forza addizionale è uguale all’aumento di energia cinetica e potenziale della particella – cioè, che
Nel caso dell’elemento fluido in esame, F può essere correlato in modo semplice al gradiente della pressione, e si trova
Se le variazioni della densità del fluido lungo la linea di flusso da P a Q sono trascurabilmente piccole, il fattore ρ-1 può essere preso fuori dall’integrale sul lato destro della (131), che quindi si riduce a ρ-1(pQ – pP). Allora (130) e (131) possono essere combinate per ottenere
Siccome questo vale per qualsiasi due punti che possono essere visitati da un singolo elemento di fluido, si può immediatamente dedurre l’importante risultato di Bernoulli (o di Eulero) che lungo ogni linea di corrente nel flusso stazionario di un fluido inviscido la quantità
è costante.
In quali circostanze le variazioni della densità sono trascurabili? Quando sono molto piccole rispetto alla densità stessa, cioè quando
dove il simbolo Δ è usato per rappresentare l’entità del cambiamento lungo una linea di flusso della quantità che la segue, e dove Vs è la velocità del suono (vedi sotto Flusso comprimibile nei gas). Questa condizione è soddisfatta per tutti i problemi di flusso che hanno a che fare con l’acqua che sono discussi di seguito. Se il fluido è l’aria, è adeguatamente soddisfatta a condizione che la più grande escursione in z sia dell’ordine dei metri piuttosto che dei chilometri e a condizione che la velocità del fluido sia ovunque inferiore a circa 100 metri al secondo.
La legge di Bernoulli indica che, se un fluido inviscido scorre lungo un tubo di sezione variabile, allora la pressione è relativamente bassa nelle costrizioni dove la velocità è alta e relativamente alta dove il tubo si apre e il fluido ristagna. Molte persone trovano questa situazione paradossale quando la incontrano per la prima volta. Sicuramente, dicono, una costrizione dovrebbe aumentare la pressione locale piuttosto che diminuirla? Il paradosso evapora quando si impara a pensare ai cambiamenti di pressione lungo il tubo come causa e ai cambiamenti di velocità come effetto, invece del contrario; è solo perché la pressione scende in corrispondenza di una costrizione che il gradiente di pressione a monte della costrizione ha il segno giusto per far accelerare il fluido.
Paradossale o no, le previsioni basate sulla legge di Bernoulli sono ben verificate dagli esperimenti. Provate a tenere due fogli di carta in modo che pendano verticalmente a due centimetri di distanza e soffiate verso il basso in modo che ci sia una corrente d’aria tra loro. I fogli saranno attirati insieme dalla riduzione della pressione associata a questa corrente. Le navi sono attirate insieme più o meno per la stessa ragione se si muovono attraverso l’acqua nella stessa direzione, alla stessa velocità e con una piccola distanza tra loro. In questo caso, la corrente risulta dallo spostamento d’acqua dalla prua di ogni nave, che deve fluire all’indietro per riempire lo spazio creato quando la poppa si muove in avanti, e la corrente tra le navi, a cui entrambe contribuiscono, è più forte della corrente che si muove oltre i loro lati esterni. Come altro semplice esperimento, ascolta il sibilo prodotto da un rubinetto che è quasi, ma non del tutto, spento. Quello che succede in questo caso è che il flusso è così ristretto e la velocità all’interno della costrizione così alta che la pressione nella costrizione è effettivamente negativa. Assistita dai gas disciolti che sono normalmente presenti, l’acqua cavita mentre passa attraverso, e il rumore che si sente è il suono di piccole bolle che collassano mentre l’acqua rallenta e la pressione sale di nuovo dall’altra parte.
Due dispositivi pratici che sono usati dagli ingegneri idraulici per monitorare il flusso di liquidi attraverso i tubi sono basati sulla legge di Bernoulli. Uno è il tubo di Venturi, un breve tratto con una costrizione in esso di forma standard (vedi Figura 5A), che può essere inserito nel tubo vero e proprio. Se la velocità nel punto P, dove il tubo ha una sezione trasversale AP, è vP e la velocità nella strozzatura, dove l’area è AQ, è vQ, la condizione di continuità – la condizione che la massa che scorre attraverso il tubo per unità di tempo deve essere la stessa in tutti i punti della sua lunghezza – suggerisce che ρPAPvP = ρQAQvQ, o che APvP = AQvQ se la differenza tra ρP e ρQ è trascurabile. Allora la legge di Bernoulli indica 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Così si dovrebbe essere in grado di trovare vP, e quindi la quantità Q (= APvP) che gli ingegneri chiamano tasso di scarico, misurando la differenza di livello h del fluido nei due tubi laterali indicati nel diagramma. A basse velocità la differenza di pressione (pP – pQ) è fortemente influenzata dalla viscosità (vedi sotto Viscosità), e l’equazione (135) non è di conseguenza affidabile. Il tubo di Venturi è normalmente usato, comunque, quando la velocità è abbastanza grande perché il flusso sia turbolento (vedi sotto Turbolenza). In tale circostanza, l’equazione (135) predice valori per Q che concordano con i valori misurati con mezzi più diretti entro poche parti per cento, anche se il modello di flusso non è veramente stabile a tutti.
L’altro dispositivo è il tubo di Pitot, che è illustrato nella Figura 5B. Le linee di flusso del fluido si dividono quando si avvicinano all’estremità smussata di questo tubo, e nel punto segnato Q nel diagramma c’è una completa stagnazione, poiché il fluido in questo punto non si muove né in alto né in basso né verso destra. Dalla legge di Bernoulli segue immediatamente che
Come per il tubo Venturi, si dovrebbe quindi essere in grado di trovare vP dalla differenza di livello h.
Un altro semplice risultato merita di essere menzionato qui. Riguarda un getto di fluido che emerge da un foro nella parete di un recipiente pieno di liquido sotto pressione. L’osservazione dei getti mostra che dopo essere emersi si restringono leggermente prima di assestarsi su una sezione trasversale più o meno uniforme nota come vena contracta. Lo fanno perché le linee di flusso stanno convergendo sul foro all’interno del recipiente e sono obbligate a continuare a convergere per un breve periodo all’esterno. Fu Torricelli a suggerire per primo che, se l’eccesso di pressione all’interno del recipiente è generato da una testa di liquido h, allora la velocità v alla vena contracta è la velocità che una particella libera raggiungerebbe cadendo attraverso un’altezza h – cioè, che
Questo risultato è una conseguenza immediata, per un fluido inviscido, del principio di conservazione dell’energia che la legge di Bernoulli sancisce.
Nella sezione seguente, la legge di Bernoulli è usata in modo indiretto per stabilire una formula per la velocità con cui le perturbazioni viaggiano sulla superficie delle acque basse. La spiegazione di diversi fenomeni interessanti che hanno a che fare con le onde d’acqua è sepolta in questa formula. Fenomeni analoghi che hanno a che fare con le onde sonore nei gas sono discussi più avanti nel flusso comprimibile nei gas, dove viene introdotta una forma alternativa della legge di Bernoulli. Questa forma della legge è limitata ai gas in flusso costante, ma non è limitata alle velocità di flusso che sono molto inferiori alla velocità del suono. La complicazione che la viscosità rappresenta è di nuovo ignorata in queste due sezioni.