Questo testo presenta un’introduzione di livello universitario alla geometria differenziale per studenti di matematica e fisica. L’esposizione segue lo sviluppo storico dei concetti di connessione e curvatura con l’obiettivo di spiegare la teoria di Chern-Weil delle classi caratteristiche su un fascio principale. Lungo il percorso incontriamo alcuni dei punti più alti nella storia della geometria differenziale, per esempio, il Teorema Egregio di Gauss e il teorema di Gauss-Bonnet. Gli esercizi in tutto il libro mettono alla prova la comprensione del materiale da parte del lettore e talvolta illustrano le estensioni della teoria. Inizialmente, i prerequisiti per il lettore includono una familiarità di passaggio con i manifold. Dopo il primo capitolo, diventa necessario comprendere e manipolare le forme differenziali. Una conoscenza della coomologia di de Rham è richiesta per l’ultimo terzo del testo.

Il materiale necessario è contenuto nel testo dell’autore An Introduction to Manifolds, e può essere appreso in un semestre. A beneficio del lettore e per stabilire notazioni comuni, l’Appendice A ricorda le basi della teoria dei manifold. Inoltre, nel tentativo di rendere l’esposizione più autonoma, sono incluse sezioni sulle costruzioni algebriche come il prodotto tensore e la potenza esterna.

La geometria differenziale, come dice il nome, è lo studio della geometria usando il calcolo differenziale. Risale a Newton e Leibniz nel diciassettesimo secolo, ma non fu fino al diciannovesimo secolo, con il lavoro di Gauss sulle superfici e Riemann sul tensore di curvatura, che la geometria differenziale fiorì e furono gettate le sue basi moderne. Negli ultimi cento anni, la geometria differenziale si è dimostrata indispensabile per la comprensione del mondo fisico, nella teoria della relatività generale di Einstein, nella teoria della gravitazione, nella teoria di gauge e ora nella teoria delle stringhe. La geometria differenziale è utile anche in topologia, in diverse variabili complesse, nella geometria algebrica, nei manifesti complessi e nei sistemi dinamici, tra gli altri campi. Il campo ha persino trovato applicazioni alla teoria dei gruppi come nel lavoro di Gromov e alla teoria della probabilità come nel lavoro di Diaconis. Non è troppo azzardato sostenere che la geometria differenziale dovrebbe essere nell’arsenale di ogni matematico.