Una funzione relativa alle rappresentazioni integrali delle soluzioni dei problemi di valore al contorno per le equazioni differenziali.

La funzione di Green di un problema di valore al contorno per un’equazione differenziale lineare è la soluzione fondamentale di questa equazione che soddisfa condizioni al contorno omogenee. La funzione di Green è il kernel dell’operatore integrale inverso all’operatore differenziale generato dall’equazione differenziale data e dalle condizioni al contorno omogenee (cfr. Kernel di un operatore integrale). La funzione di Green produce soluzioni dell’equazione disomogenea che soddisfano le condizioni al contorno omogenee. Trovare la funzione di Green riduce lo studio delle proprietà dell’operatore differenziale allo studio di proprietà simili dell’operatore integrale corrispondente.

Funzione di Green per equazioni differenziali ordinarie.

Lasciamo che $ L $sia l’operatore differenziale generato dal polinomio differenziale

$$ l = \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ a < x < b,$$

e le condizioni al contorno $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \punti n $, dove

$$ U _ {j} = \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$

La funzione di Green di $ L $è la funzione $ G ( x, \xi ) $che soddisfa le seguenti condizioni:

1) $ G ( x, \xi ) $è continua e ha derivate continue rispetto a $ x $ fino all’ordine $ n – 2 $ per tutti i valori di $ x $ e $ \xi $ nell’intervallo $ $.

2) Per ogni dato $ \xi $in $ ( a, b) $la funzione $ G ( x, \xi ) $ha derivate uniformemente continue di ordine $ n $ rispetto a $ x $in ciascuno dei semi-intervalli $ $ e la derivata di ordine $ n – 1 $soddisfa la condizione

$$ \frac{\parziale ^ {n – 1 } \parziale x ^ {n – 1 } G ( \xi + , \xi ) – \frac{parziale ^ {n – 1 } x^parziale {n – 1 } G ( \xi – , \xi ) = \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$

se $ x = \xi $.

3) In ciascuno dei semi-intervalli $ $ la funzione $ G ( x, \xi ) $, considerata come una funzione di $ x $, soddisfa l’equazione $ l = 0 $ e le condizioni al contorno $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \punti n $.

Se il problema del valore limite $ Ly = 0 $ ha solo soluzioni banali, allora $ L $ ha una e una sola funzione di Green. Per qualsiasi funzione continua $ f $ su $ $ esiste una soluzione del problema del valore limite $ Ly = f $, e può essere espressa dalla formula

$$ y ( x) = \intrecciati _ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$

Se l’operatore $ L $ha una funzione di verde $ G ( x, \xi ) $, allora l’operatore contiguo $ L ^ {*} In particolare, se $ L $ è autoadesivo ( $ L = L ^ {*} $), allora $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}; $, cioè la funzione Green è un kernel Hermitiano in questo caso. Quindi, la funzione di Green dell’operatore auto-unito del secondo ordine $ L $generato dall’operatore differenziale a coefficienti reali

$$ l = \frac{d}{dx}{sinistra ( p\frac{dy }{dx }destra ) +q ( x) y,\ \ a < x < b,$$

e le condizioni al contorno $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $ ha la forma:

$$ G ( x, \xi ) = \sinistra \begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \\xi ) &Testrm{ se } x \leq \xi , \Cy _1} ( \xi ) y _2} ( x) &Testrm{ se } x > \xi . \fine {\a6} \$$

Qui $ y _1} ( x) $ e $ y _2} ( x) $ sono soluzioni arbitrariamente indipendenti dell’equazione $ l = 0 $ che soddisfano, rispettivamente, le condizioni $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, dove $ W $ è il determinante di Wronski (Wronskiano) di $ y _ {1} $ e $ y _ {2} $. Si può dimostrare che $ C $ è indipendente da $ \xi $.

Se l’operatore $ L $ha una funzione di Green, allora il problema dei valori propri al confine $ Ly = \lambda y $ è equivalente all’equazione integrale $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, alla quale è applicabile la teoria di Fredholm (cfr. anche teoremi di Fredholm). Per questo motivo il problema dei valori al contorno $ Ly = \lambda y $ può avere al massimo un numero conteggiabile di valori propri $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \senza punti limite finiti. Il problema coniugato ha valori autoctoni coniugati complessi della stessa molteplicità. Per ogni $ \lambda $ che non è un valore proprio di $ L $ è possibile costruire la funzione di verde $ G ( x, \xi , \lambda ) $ dell’operatore $ L – \lambda I $, dove $ I $ è l’operatore identità. La funzione $ G ( x, \xi , \lambda ) $ è una funzione meromorfa del parametro $ \lambda $; i suoi poli possono essere solo autovalori di $ L $. Se la molteplicità del valore proprio $ \lambda _ {0} $ è uno, allora

$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \frac{u _ {0} ( x) \overline {v _0} ( \xi ) }}; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$

dove $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $ è regolare in un intorno del punto $ \lambda _ {0} $, e $ u _ {0} ( x) $ e $ v _ {0} ( x) $ sono le funzioni proprie di $ L $ e $ L ^ {*} corrispondenti ai valori propri $ \lambda _0} $ e $ \overline{ {lambda _0} e normalizzati in modo tale che

$$ \limiti _ a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _0} ( x) }}}; dx = 1.$$

Se $ G ( x, \xi , \lambda ) $ha infiniti poli e se questi sono solo del primo ordine, allora esiste un sistema biorigonale completo

$$ u _ {1} ( x),\ u _2} ( x) ,\punti ; \ v _1} ( x),\ v _2} ( x) \punti$$

di funzioni autoctone di $ L $e $ L ^ {*}. Se i valori autoctoni sono numerati in sequenza crescente dei loro valori assoluti, allora l’integrale

$$$ I _ {R} ( x, f ) = \frac{1}{2 \pi i }introdotti _ {| \lambda | = R } \ d \lambda \intlimits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$

è uguale alla somma parziale

$$ S _ {k} ( x, f ) = \sum _ {| \lambda _ {n} < R }u _ {n} ( x)\intelligenza _ a } ^ b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}}; \ d \xi$$

dell’espansione di $ f $ rispetto alle funzioni autoctone di $ L $. Il numero positivo $ R $ è così scelto che la funzione $ G ( x, \xi , \lambda ) $ è regolare in $ \lambda $ sul cerchio $ | \lambda | = R $. Per un problema di valore al contorno regolare e per qualsiasi funzione piecewise-smooth $ f $ nell’intervallo $ a < x < b $, l’equazione

$$ \limiti _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \frac{1}{2} } $$

è valida, cioè è possibile un’espansione in una serie convergente .

Se la funzione di Green $ G ( x, \xi , \lambda ) $dell’operatore $ L – \lambda I $ha poli multipli, allora la sua parte principale è espressa da sistemi canonici di funzioni autoctone e adjoint degli operatori $ L $e $ L ^ {*}

Nel caso considerato sopra, il problema dei valori limite $ Ly = 0 $ non ha soluzioni non banali. Se, invece, tali soluzioni non banali esistono, si introduce una cosiddetta funzione di Green generalizzata. Sia che esistano, ad esempio, esattamente $ m $soluzioni linearmente indipendenti del problema $ Ly = 0 $. Allora una funzione di Green generalizzata $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $ che ha le proprietà 1) e 2) di una funzione di Green ordinaria, soddisfa le condizioni al contorno in funzione di $ x $ se $ a < \xi < b $ e, inoltre, è una soluzione dell’equazione

$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ {v _k} ( \xi ) }}}; .$$

Qui $ \{ v _ _k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ è un sistema di soluzioni linearmente indipendenti del problema annesso $ L ^ {*} y = 0 $, mentre $ \{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ è un sistema arbitrario di funzioni continue biortogonali ad esso. Allora

$$ y ( x) = \intelletti _ a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$

è la soluzione del problema dei valori limite $ Ly = f $ se la funzione $ f $ è continua e soddisfa il criterio di solvibilità, cioè è ortogonale a tutti i $ v _ {k} $

Se $ \widetilde{G} _ {0} $ è una delle funzioni di Green generalizzate di $ L $, allora qualsiasi altra funzione di Green generalizzata può essere rappresentata nella forma

$$ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \widetilde{G} {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$

dove $ \{ u _ {k} ( x) \ è un sistema completo di soluzioni linearmente indipendenti del problema $ Ly = 0 $, e $ \psi _ {k} ( \xi ) $ sono funzioni continue arbitrarie.

Funzione verde per equazioni differenziali parziali.

1) Equazioni ellittiche. Sia $ A $ l’operatore differenziale ellittico di ordine $ m $ generato dal polinomio differenziale

$$ a ( x, D) = \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$

in un dominio delimitato $ \Omega \subset \mathbf R ^ {N} $e le condizioni al contorno omogenee $ B _ {j} u = 0 $, dove $ B _ {j} $ sono operatori di confine con coefficienti definiti sul confine $ \parziale \Omega $ di $ \Omega $, che si assume essere sufficientemente liscio. Una funzione $ G ( x, y) $ si dice essere una funzione di Green per $ A $ se, per qualsiasi $ y fisso in \Omega $, soddisfa le condizioni al contorno omogenee $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $ e se, considerata come una funzione generalizzata, soddisfa l’equazione

$$ a ( x, D)G ( x, y) = \delta ( x – y).$$

Nel caso di operatori con coefficienti lisci e condizioni al contorno normali, che assicurano che la soluzione del problema dei valori al contorno omogeneo sia unica, esiste una funzione di Green e la soluzione del problema dei valori al contorno $ Au = f $può essere rappresentata nella forma (cfr. )

$$ u ( x) = \intelligenza _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$

In tal caso le stime uniformi per $ x , y in \overline \Omega \; $,

$$ | G ( x, y) | \leq \C | x – y | ^ {m – n } \ se m < n,$$

$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{rm ln} \mathop {\mathop{\mathop{ ln} | x – y | | \textrm{ se } m = n,$$

sono validi per la funzione di Green, e quest’ultima è uniformemente delimitata se $ m > n $.

Il problema degli autovalori limite $ Au = \lambda u $ è equivalente all’equazione integrale

$$ u ( x) = \lambda \intolimiti _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$

alla quale è applicabile la teoria di Fredholm (cfr. ) (cfr. teoremi di Fredholm). Ne segue, in particolare, che il numero degli autovalori è al più contato, e che non ci sono punti limite finiti; il problema dei valori al contorno ha autovalori coniugati complessi della stessa molteplicità.

Una funzione di Green è stata studiata più approfonditamente per le equazioni del secondo ordine, poiché la natura della singolarità della soluzione fondamentale può essere esplicitamente scritta. Così, per l’operatore di Laplace la funzione di Green ha la forma

$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } \gamma ( x, y) \textrm{ se } n > 2,$$

$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{rm ln} \gamma ( x – y) \textrm{ if } n = 2,$$

dove $ \gamma ( x, y) $è una funzione armonica in $ \Omega $scelta in modo che la funzione di Green soddisfi la condizione limite.

La funzione di Green $ G ( x, y) $del primo problema di valore al contorno per un operatore ellittico del secondo ordine $ a ( x, D) $con coefficienti lisci in un dominio $ \Omega $con contorno di tipo Lyapunov $ \parziale \Omega $, rende possibile esprimere la soluzione del problema

$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \textrm{ se } \ \ x \in \mega ,\ \ \sinistra . u \destra | _ {\parziale \Omega } = \phi ,$$

nella forma

$$ u ( x) = \intolimiti _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +intolimiti _ {\parziale \Omega }frac \parziale {\parziale \nu _y} G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} $$

dove $ \parziale / \parziale \nu _ {y} $ è la derivata lungo la co-normale esterna dell’operatore $ a ( x, D) $ e $ d \sigma _ {y} $ è l’elemento di superficie su $ \parziale \Omega $.

Se la condizione al contorno omogenea $ Au = 0 $ ha soluzioni non banali, si introduce una funzione di Green generalizzata, proprio come per le equazioni differenziali ordinarie. Così, una funzione di Green generalizzata, la cosiddetta funzione di Neumann, è disponibile per l’operatore di Laplace.

2) Equazioni paraboliche. Sia $ P $ l’operatore differenziale parabolico di ordine $ m $ generato dal polinomio differenziale

$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\frac \partial {\partial t } \right ) = \frac \partial {\partial t } \frac \frac \partial t } \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$

$$ x \ in \Omega ,\ t > 0,$$

e le condizioni iniziali e finali omogenee

$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$

dove $ B _ {j} $ sono operatori al contorno con coefficienti definiti per $ x \parziale \Omega $ e $ t \geq 0 $. La funzione di verde dell’operatore $ P $ è una funzione $ G ( x, t, y, \tau ) $che per un fisso arbitrario $ ( y , \tau ) $con $ t > \tau \geq 0 $e $ y \in \Omega $soddisfa le condizioni al contorno omogenee $ B _ {j} = 0 $e soddisfa anche l’equazione

$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\frac \parziale t }destra )G ( x, t, y, \tau ) = \delta ( x – y , t – \tau ) .$$

Per operatori con coefficienti lisci e condizioni al contorno normali, che assicurano l’unicità della soluzione del problema $ pu = 0 $, esiste una funzione di Green, e la soluzione dell’equazione

$$ p \left (x, t, D _ { {x} ,\frac \frac \parziale t }destra )u ( x, t) = \f ( x, t)$$

soddisfacendo le condizioni al contorno omogenee e le condizioni iniziali $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, ha la forma

$$ u ( x, t) = \int \limiti _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \intolimiti _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$

$$ + \intolimiti _ \Omega G ( x, t, y, 0) \fi ( y) dy.$$

Nello studio dei sistemi ellittici o parabolici la funzione di Green è sostituita dal concetto di matrice di Green, per mezzo del quale le soluzioni dei problemi a valori limite con condizioni al contorno omogenee per questi sistemi sono espresse come integrali dei prodotti di una matrice di Green per i vettori dei lati destri e le condizioni iniziali .

Le funzioni di Green prendono il nome da G. Green (1828), che fu il primo a studiare un caso speciale di tali funzioni nei suoi studi sulla teoria del potenziale.

	M.A. Naimark, “Lineare Differentialoperatoren” , Akademie Verlag (1960) (Tradotto dal russo) MR0216049
	M.V. Keldysh, “On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (In russo)
	V.V. Sobolev, “Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Tradotto dal russo)
	L. Bers, F. John, M. Schechter, “Partial differential equations” , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207
	L. Gårding, “Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp. 55-72 MR64979
	A. Friedman, “Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903
	S.D. Eidel’man, “Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Tradotto dal russo) Zbl 0181.37403

	J.K. Hale, “Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003
	P.R. Garabedian, “Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501

Funzione verde nella teoria delle funzioni.

Nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, per funzione di Green (reale) si intende una funzione di Green per il primo problema dei valori limite dell’operatore di Laplace, cioè una funzione del tipo

$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\mathop{rm ln} in \mega ,$$

dove $ z = x + iy $ è la variabile complessa, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $ è il polo della funzione di Green, $ z _ {0} \in \Omega $, e $ \gamma ( z, z _0} ) $ è una funzione armonica di $ z $ che assume i valori $ – \mathop{rm ln} 1/ | z – z _ {0} | al confine $ \parziale \Omega $. Sia il dominio $ \Omega $ semplicemente connesso e sia $ w = f ( z, z _ {0} ) $ la funzione analitica che realizza la mappatura conforme di $ \Omega $ sul disco unitario in modo che $ z _ 0} $ sia al centro del disco, e tale che $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \primo } ( z _ {0} , z _0} ) > 0 $.

Quindi

$$ \tag{2 }G ( z, z _0} ) = \mathop{rm ln} \frac{1}{|frac{1} f ( z, z _ {0} ) | .$$

Se $ H ( z, z _ {0} ) $ è la funzione armonica coniugata con $ G ( z, z _ {0} ) $, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, allora la funzione analitica $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ si dice essere una funzione di Green complessa di $ \Omega $ con polo $ z _ {0} $. L’inversione della formula (2) dà

$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _0} ) } $$

Le formule (2) e (3) mostrano che i problemi di costruire una mappatura conforme di $ \Omega $nel disco e di trovare una funzione di Green sono equivalenti. Le funzioni di Green $ G ( z, z _ 0} ) $, $ F ( z, z _ 0} ) $ sono invarianti sotto mappature conformi, il che può talvolta facilitare la loro identificazione (vedi Metodo di mappatura).

Nella teoria delle superfici di Riemann è più conveniente definire le funzioni di Green con l’aiuto di una proprietà minima, valida per una funzione (1): Di tutte le funzioni $ U ( z, z _ {0} ) $su una superficie di Riemann $ \Omega $che sono positive e armoniche per $ z \neq z _0} $e hanno in un intorno di $ z _ {0} $la forma

$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),$$

dove $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ è una funzione armonica che è regolare su tutta la superficie $ \Omega $, la funzione di Green, se esiste, è la minima, cioè $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Qui l’esistenza di una funzione di Green è tipica delle superfici di Riemann di tipo iperbolico. Se una funzione di Green è così definita, essa non svanisce più, in generale, in nessun punto del confine (ideale) della superficie di Riemann. La situazione è simile nella teoria del potenziale (vedi anche Teoria del potenziale, astratto). Per un insieme aperto arbitrario $ \Omega $, ad esempio nello spazio euclideo $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, la funzione di Green $ G ( x, x _ {0} ) $ può anche essere definita con l’aiuto della proprietà dei minimi discussa sopra, ma per $ n \geq 3 $ l’espressione $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } dovrebbe essere sostituita da $ \mathop{rm ln} {1/ | x – x _0} | } nella formula (4). In generale, una tale funzione di Green non tende necessariamente a zero man mano che ci si avvicina al confine $ \parziale \Omega $. Una funzione di Green non esiste per superfici di Riemann di tipo parabolico o per certi domini in $ \mathbf R ^ {2} $ (ad esempio per $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $).

	S. Stoilov, “La teoria delle funzioni di una variabile complessa” , 1-2 , Mosca (1962) (In russo; tradotto dal rumeno)
	R. Nevanlinna, “Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003
	M. Brélot, “Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903

E.D. Solomentsev

Vedi anche e per le funzioni di Green nella teoria classica del potenziale, e per le funzioni di Green nella teoria assiomatica del potenziale.

Nella teoria delle funzioni di più variabili complesse, più specificamente nella teoria dei pluripotenziali (cfr. anche teoria del potenziale), sono state introdotte funzioni di Green per l’equazione di Monge-Ampère complessa. Idealmente una tale funzione di Green dovrebbe essere una soluzione fondamentale per l’operatore complesso di Monge-Ampère $ M A = \mathop{rm det} ( \parziale ^ {2} / \parziale z _i} \parziale \overline{z}; _ {j} ) $, con valori limite $ 0 $ e inoltre plurisubarmonica (cfr. anche funzione Plurisubarmonica). È possibile ottenere una discreta analogia della teoria classica unidimensionale solo per domini pseudo-convessi (cfr. Pseudo-convesso e pseudo-concavo). Sono state proposte diverse definizioni inequivalenti della funzione di Green. Una di queste è la seguente. Sia $ \Omega $ un dominio in $ \mathbf C ^ {n} $, $ w \ in \Omega $. Sia $ \mathop{rm PSH} ( \Omega ) $ indichi le funzioni plurisubarmoniche (cfr. Funzione Plurisubarmonica) su $ \Omega $. La funzione di Green per $ \Omega $con polo in $ w $ è

$$ G ( z , w ) =$

$$ = \up \{ u ( z) : u in \mathop{rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{rm log} \zeta – w | < C _ {u} \mega \mega \mega \mega \mega \mega \mega \mega} , $$

dove $ C _ {u} $ è una costante che dipende da $ u $. Così, per ogni fisso $ w $, $ G ( \cdot , w ) $ è plurisubarmonico. Per $ n = 1 $, $ – G $ è uguale alla solita funzione di Green. Naturalmente si vuole che $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\parziale \Omega } = 0 $ e anche $ G ( \cdot , w ) $ una funzione continua a $ $, ma questo è equivalente a $ \Omega $ essere un dominio iperconvesso (cioè un dominio pseudo-convesso che ammette una funzione di esaurimento plurisubarmonica continua e limitata). Se questo è il caso, si ha anche:

1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, dove $ \delta _ {w} $ è la misura di Dirac a $ w $,

2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $ come $ z \rightarrow w $ e $ G $ è continuo su $ \overline \Omega \; \times \Omega $.

Se $ \Omega $ è strettamente convesso, allora $ G $ è simmetrico: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $ e $ C ^ \infty $ su $ \Omega \setmeno \ w \} $. Se $ \Omega $ è solo strettamente pseudo-convesso, allora $ G $ non deve essere simmetrico e nemmeno $ C ^ {2} $. Si può introdurre un tipo di funzione di Green in cui la simmetria è incorporata, vedi , ma si può perdere 1) e 2). Per $ \Omega $ rigorosamente pseudo-convessa vale la seguente disuguaglianza (L. Lempert):

$$ \mathop{\rm log} \mathop{rm tanh} C ( z , w ) \leq \G ( z , w ) < \mathop{rm log} \mathop{rm tanh} K ( z , w ) ,$$

con uguaglianza per i domini convessi. Qui $ C $ e $ K $ indicano rispettivamente la distanza di Carathéodory e la distanza di Kobayashi.

Se $ E $ è un insieme vincolato in $ \mathbf C ^ {n} $, la funzione di Green con polo in $ \infty $ per $ E $ è

$$ L _ {E} ( z) =$$

$$ = \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \code(01) , $$

e analogamente al caso di una variabile esiste una funzione Robin

$$ R _ {E} ( z) = \limiti \sup _{begin{array}{c} \lambda \in \mathbf C \lambda \destra \infty \end{array} ( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{rm log} | )$$

e una capacità logaritmica

$$ \mathop{rm Cap} ( E) = \mathop{rm exp} \ – \sup R _ {E} \$$

Per gli insiemi generali $ E $, $ \mathop{rm Cap} ( E) = \limiti _ {n \freccia destra \infty} \mathop{rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Questa capacità ha la proprietà che gli insiemi di capacità zero sono precisamente gli insiemi multipolari.

	L.L. Helms, “Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969)
	K. Janssen, “On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) pp. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018
	N.S. Landkof, “Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Tradotto dal russo) MR0350027 Zbl 0253.31001
	E. Bedford, “Survey of pluri-potential theory” (di prossima pubblicazione) MR1207855 Zbl 0786.31001
	U. Cegrell, “Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001
	J.P. Demailly, “Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) pp. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006

Funzione di Green in meccanica statistica.

Una combinazione lineare ordinata nel tempo di funzioni di correlazione (cfr. Funzione di correlazione in meccanica statistica), che è una comoda quantità intermedia nei calcoli di particelle interagenti.

Funzione di Green in meccanica quantistica statistica.

Le funzioni di Green a commutatore di due tempi sono le più usate: ritardata $ ( \mathop{rm ret} , + ) $, avanzata $ ( \mathop{rm adv} , – ) $ e causale (c). Questi sono definiti dalle relazioni:

$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{rm ret} ) }( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{rm ret} ) \equiv$$

$$ \equiv \theta ( t – t^ \primo ) \langolo _ \eta \rangolo ,$$

$$ G _ {AB} {\an8}( \mathop{\an8} adv} ) {\an8} ( t – t ^ \primo ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \primo ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) \equiv$$

$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \primo – t) \langolo _ \eta \rangolo ,$$

$$ G _ {AB} {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langolo T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangolo ,$$

dove

$$ _ \\eta = \ A ( t) B ( t ^ \primo ) – \eta B ( t ^ \primo ) A ( t),$

$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$

$$ \theta ( x) = \sinistra \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\0, & x < 0 \fine{array} ,\eta = \pm 1 . \$$

Qui, $ A ( t) $ e $ B ( t ^ ^ ^ ^ ) $ sono variabili dinamiche dipendenti dal tempo (operatori sullo spazio di stato del sistema nella rappresentazione di Heisenberg); $ \langolo \punti \rangolo $ indica la media sull’aggregato statistico di Gibbs; il valore di $ \eta = \pm 1 $ è scelto per comodità. L’efficacia dell’uso delle funzioni di Green dipende in larga misura dall’uso di rappresentazioni spettrali delle loro trasformate di Fourier $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{rm adv} , \textrm{ c } Così, per temperature non nulle la seguente rappresentazione è valida per le funzioni di verde avanzate e ritardate:

$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$

$$ = \frac{i}{2 \pi } \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti \i limiti ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ _AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} d \omega ,$$

$$ \epsilon \freccia destra + 0,\alfa _n} = \sinistra \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{rm ret} , \1, & n = \mathop{rm adv} . \fine {\a6} \$$

Qui $ J _ {AB} ( \omega ) $ è la densità spettrale, $ \theta = kT $, dove $ T \neq 0 $ è la temperatura assoluta, e $ k $ è la costante di Boltzmann. Nel sistema di unità di misura impiegato, $ hbar = h/2 \pi = 1 $ dove $ h $ è la costante di Planck. In particolare, la seguente formula è valida:

$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \\omega ) = \ \sinistra ( e ^ {\omega / \theta } – \eta-destra ) J _ {AB} ( \omega ) .$$

Questa formula permette di calcolare la densità spettrale (e quindi anche un certo numero di caratteristiche fisiche del sistema) per mezzo di una funzione di Green. Formule spettrali simili esistono anche per la temperatura zero. Le singolarità (poli nel piano complesso) della trasformata di Fourier di una funzione di Green caratterizzano lo spettro e lo smorzamento delle perturbazioni elementari nel sistema. Le principali fonti per il calcolo di una funzione di Green includono: a) la soluzione approssimata di una catena infinita di equazioni di interlacciamento, che è derivata direttamente dalla definizione della funzione di Green “dividendo” la catena sulla base di idee fisiche; b) la sommatoria dei termini fisici “fondamentali” della serie della teoria delle perturbazioni (sommatoria di diagrammi); questo metodo è usato principalmente nel calcolo delle funzioni di Green causali e assomiglia per molti versi al metodo per il calcolo della funzione di Green nella teoria quantistica dei campi.

Le funzioni di Green in meccanica statistica classica

sono funzioni di Green ritardate (ret) e avanzate (adv) ottenute sostituendo gli operatori $ A ( t) $ e $ B ( t^ \primo ) $ nelle appropriate formule quantistiche stabilite per il caso quantistico (per $ \eta = \pm 1 $) con le funzioni dinamiche di stato del sistema classico in studio, e sostituendo il commutatore $ A ( t) B ( t ^ \primo ) – B ( t ^ \primo ) A ( t) $ (le parentesi di Poisson quantistiche) con le classiche (ordinarie) parentesi di Poisson; $ \langolo \punti \rangolo $ indica, corrispondentemente, la media sull’aggregato classico di Gibbs. L’introduzione di una funzione di Green causale non ha alcun significato qui, poiché il prodotto delle variabili dinamiche è commutativo. In analogia con il caso quantistico, le rappresentazioni spettrali della trasformata di Fourier di una funzione di Green esistono e possono essere efficacemente utilizzate. La fonte principale per il calcolo di una funzione di Green classica è il sistema di equazioni ottenuto variando infinitesimamente l’hamiltoniana di qualche sistema di equazioni per le funzioni di correlazione: la catena di equazioni di Bogolyubov, un sistema di equazioni idrodinamiche, ecc.

	N.N. Bogolyubov, S.V. Tyablikov, “Funzioni di verde ritardate e avanzate in fisica statistica” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) pp. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) pp. 53 Zbl 0092.21703
	D.N. Zubarev, “Double-time Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) pp. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) pp. 71-116 MR0122068
	N.N. Bogolyubov, jr., B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) pp. 677
	N.N. Bogolyubov jr, B.I. Sadovnikov, “Alcune questioni di meccanica statistica” , Mosca (1975) (In russo)
	, Fisica statistica e teoria quantistica dei campi , Mosca (1973) (In russo) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504

V.N. Plechko