Funzione armonica, funzione matematica di due variabili che ha la proprietà che il suo valore in qualsiasi punto è uguale alla media dei suoi valori lungo qualsiasi cerchio intorno a quel punto, purché la funzione sia definita entro il cerchio. Un numero infinito di punti è coinvolto in questa media, per cui essa deve essere trovata per mezzo di un integrale, che rappresenta una somma infinita. In situazioni fisiche, le funzioni armoniche descrivono quelle condizioni di equilibrio come la distribuzione della temperatura o della carica elettrica su una regione in cui il valore in ogni punto rimane costante.

Le funzioni armoniche possono anche essere definite come funzioni che soddisfano l’equazione di Laplace, una condizione che può essere dimostrata essere equivalente alla prima definizione. La superficie definita da una funzione armonica ha convessità nulla, e queste funzioni hanno quindi l’importante proprietà di non avere valori massimi o minimi all’interno della regione in cui sono definite. Le funzioni armoniche sono anche analitiche, il che significa che possiedono tutte le derivate (sono perfettamente “lisce”) e possono essere rappresentate come polinomi con un numero infinito di termini, chiamati serie di potenza.

Le funzioni armoniche sferiche sorgono quando si usa il sistema di coordinate sferiche. (In questo sistema, un punto nello spazio è localizzato da tre coordinate, una che rappresenta la distanza dall’origine e altre due che rappresentano gli angoli di elevazione e azimut, come in astronomia). Le funzioni armoniche sferiche sono comunemente usate per descrivere campi tridimensionali, come i campi gravitazionali, magnetici ed elettrici, e quelli derivanti da certi tipi di moto dei fluidi.