Matemaatikkojen pakko tehdä asioista yhä monimutkaisempia on sekä siunaus että kirous. Heidän halunsa ottaa idea ja venyttää sitä niin pitkälle kuin mahdollista voi tuottaa kiehtovia uusia oivalluksia. Huonona puolena on se, että kun matematiikasta tulee abstraktimpaa ja se saa voimaa kuvata valtavia käsitteellisiä tietämysalueita, sitä on yhä vaikeampi kuvata sanoin.

Siten käännän raskain mielin tämän vuosituhannen vaihteen palkinto-ongelmia käsittelevän sarjan painopisteen Hodge-epäilyyn. Se on hämmästyttävä matematiikan eri alojen risteymä, mutta tuskaista tiivistää. Koska on siis maailman matematiikan päivä, aloitan lupauksella: heti kun asiat muuttuvat liian monimutkaisiksi, lopetan, kun olen vielä voitolla.

Ihmiset ovat tutkineet muotojen matematiikkaa jo paljon ennen kuin Pythagoras kiinnitti ensimmäisen kerran Pythagoraan huomion kolmioon noin 500 eaa. Sukupolvien kuluessa tutkittiin yhä monimutkaisempia muotoja, kunnes noin kaksituhatta vuotta myöhemmin näytti siltä, että voimat olivat loppumassa. Matemaatikot olivat tehneet muodoista kaiken mahdollisen, ja matkan varrella he olivat luoneet perustan kaikelle tekniikasta perspektiivimaalaukseen. Sitten, vuonna 1637, eräs älykäs nuori matemaatikko ja filosofi tajusi, että jos abstrahoitiin vielä askeleen pidemmälle, geometria oli itse asiassa sama kuin algebra.

Käyttäen kartesiolaista koordinaatistoa, joka nyt kantaa hänen nimeään, Descartes pohdiskeli paljon sitä, miten geometrinen viiva oli vain joukko numeroita. Yhtälöt voivat myös tuottaa joukon lukuja ratkaisuikseen. Jos nämä molemmat lukujoukot olisivat täsmälleen samat, paperille piirrettyä viivaa voitaisiin pitää samana asiana kuin yhtälön ratkaisua.

Tämä oli käänteentekevä hetki matematiikassa, joka mahdollisti kaikkien algebrassa kehitettyjen työkalujen soveltamisen geometriaan. Siksi koulusi matematiikanopettaja innostui lineaaristen kuvaajien muuntamisesta yhtälöiksi: mitä tahansa satunnaista suoraa voidaan ajatella yhtälön y = mx + c ratkaisujen joukoksi. Mikä tahansa ympyrä on yhtälön (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ratkaisujen joukko. Jos haluat nähdä, missä tietty viiva risteää tietyn ympyrän kanssa, voit joko piirtää muodot geometrisesti tai vertailla yhtälöitä algebrallisesti. Molemmat menetelmät antavat saman vastauksen.

Matemaatikot eivät tyytyneet tyytymään viivoihin, ja he huomasivat nopeasti, että monimutkaisemmilla yhtälöillä tai jopa yhtälöryhmillä, jotka toimivat kaikki yhdessä, voitiin tuottaa hämmästyttäviä muotoja kaikenlaisissa ulottuvuuksissa. Jotkin niistä voitiin edelleen visualisoida muodoiksi – kuten yhtälöt, joiden ratkaisujoukko kartoittaa kehän pinnan, jota kutsutaan torukseksi – mutta monet niistä olivat yli sen, mitä voimme kuvitella, ja niihin päästiin käsiksi vain algebralla ja hyvin venyneellä mielikuvituksella.

Koska matemaatikot olivat nyt tekemisissä objektien kanssa, jotka olivat yli sen, mitä pystymme visuaalisesti hahmottamaan, näitä ”muotoja” alettiin yleisesti kutsua nimellä ”algebralliset ympyrät”. Jos algebrallinen sykli oli mukavan sileä ja yleensä hyvin käyttäytyvä muoto, se ansaitsi myös nimityksen ”moninaisuus”.

Tällöin tapahtui kaksi asiaa kerralla. Ensinnäkin: topologeiksi kutsuttu joukko matemaatikkoja alkoi tutkia, mitä tapahtuu, jos piirrät muotoja moninaisuuden päälle. Voisit kuvitella, että sinulla on rengasmunkki ja piirrät kolmion aivan sen huipun ympärille (ks. kuva yllä). Tai ehkä viisikulmion.

Todellisuudessa tarvitsetko molempia? Jos muoto voisi liukua ja venyä niin kolmio voisi vääristyä viisikulmioksi. Topologit ryhmittelivät kaikki muodot, joita voitaisiin vääristää yhdestä toiseen (ilman, että ne nostetaan pois moninaisuuden pinnalta), ”homologialuokaksi” – eräänlaiseksi yleistyneeksi muodoksi. Kaikki muodot, jotka menevät donitsin ”reiän” läpi, muodostaisivat eri homologialuokan.

Toiseksi joukko matemaatikkoja, jotka kutsuivat itseään algebralaisiksi, alkoi ottaa yhtälöryhmiä, jotka jo tuottivat mukavan siistejä moninaisuuksia, ja lisätä niihin lisää yhtälöitä. Nämä lisäyhtälöt tuottivat uusia algebrallisia syklejä näiden moninaisuuksien sisällä.

Ei kestänyt kauan ennen kuin ihmiset tajusivat, että topologit, jotka piirsivät homologialuokkia moninaisuuksiin, ja algebralaiset, jotka upottivat algebrallisia syklejä moninaisuuksiin, olivat itse asiassa sama asia. Se toisti sen, kun geometriset muodot kohtasivat ensimmäisen kerran algebralliset yhtälöt. Vaikeus oli siinä, että kukaan ei tiennyt varmasti, milloin homologialuokka monistolla sisälsi ainakin yhden muodon, joka oli kuvattavissa myös algebrallisena syklinä.

Yhteenvetona voidaan sanoa, että moniste on outo (mahdollisesti korkea-ulotteinen) muoto, joka voidaan kuvata yhtälösarjalla. Lisäämällä ylimääräisiä yhtälöitä saataisiin pienempiä muotoja, joita kutsutaan algebrallisiksi sykleiksi, tuon moninaisuuden sisällä.

Ongelma on: jos piirtäisit mitä tahansa satunnaista – mahdollisesti inhottavaa – muotoa moninaisuuteen, mistä tietäisit, voiko sen venyttää erilaiseksi muodoksi, joka voidaan kuvata mukavana algebrallisena syklinä?

Skotlantilaisella matemaatikolla William Hodge:lla oli loistava ajatus siitä, miten voisit päätellä, mitkä homologialuokat tietyllä tietynlaisella moninaisuudella ovat ekvivalenttisia algebralliselle sykleilylle. Hän ei vain pystynyt todistamaan sitä. Jos pystyt todistamaan, että hänen menetelmänsä toimii aina, miljoonan dollarin palkinto on sinun.

Ongelmani on se, että tähän asti olen puhunut kivojen tavallisten numeeristen koordinaattien ja normaalien avaruusulottuvuuksien termein. Hodge-epäily käyttää itse asiassa niin sanottuja kompleksilukukoordinaatteja ja kompleksisia avaruusulottuvuuksia. Niin paljon kuin haluaisinkin kuvailla teille koko konjektuurin, tämä on juuri se kohta, jossa lupasin lopettaa.

Matt Parker työskentelee Lontoon yliopiston Queen Maryn matematiikan laitoksella, ja hänet löytää netistä osoitteesta standupmaths.com
Tietääksesi lisää Hodge-epäilystä, Tämä video Texasin yliopistossa Austinissa toimivan Dan Freedin luennosta on erittäin suositeltava

• Jaa Facebookissa
• Jaa osoitteessa Twitter
• Jaa sähköpostitse
• Jaa LinkedInissä
• Jaa Pinterestissä
• Jaa WhatsAppissa
• Jaa Messengerissä

.