Sivu

Written by on in Articles

Funktioyhtälö on karkeasti ottaen yhtälö, jossa osa ratkaistavista tuntemattomista on funktioita. Esimerkiksi seuraavat yhtälöt ovat funktionaalisia yhtälöitä:

  • $f(x) + 2f\vasen(\frac1x\oikea) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

Esittelyteemat

Funktion käänteisluku

Funktion käänteisluku on funktio, joka ”kumoaa” funktion. Tarkastellaan esimerkkinä funktiota: $f(x) = x^2 + 6$. Funktiolla $g(x) = \sqrt{x-6}$ on ominaisuus, että $f(g(x)) = x$. Tällöin $g$ kutsutaan (oikeaksi) käänteisfunktioksi. (Vastaavasti funktiota $g$ siten, että $g(f(x))=x$ kutsutaan vasemmanpuoleiseksi käänteisfunktioksi. Tyypillisesti oikea ja vasen käänteisfunktio osuvat sopivalla alueella yhteen, ja tällöin kutsumme yksinkertaisesti oikeaa ja vasenta käänteisfunktiota käänteisfunktioksi). Usein funktion $f$ käänteisfunktiota merkitään $f^{-1}$.

Välioppiaiheet

Sykliset funktiot

Syklinen funktio on funktio $f(x)$, jolla on ominaisuus, että:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Klassinen esimerkki tällaisesta funktiosta on $f(x) = 1/x$, koska $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Sykliset funktiot voivat auttaa merkittävästi funktionaalisten identiteettien ratkaisemisessa. Tarkastellaan tätä ongelmaa:

Löydä $f(x)$ siten, että $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. Tässä funktionaalisessa yhtälössä olkoon $x=y$ ja olkoon $x = 1/y$. Näin saadaan kaksi uutta yhtälöä:

$3f(y) - 4f\left(\frac1y\right) = y^2$

$3f\left(\frac1y\right)- 4f(y) = \frac1{y^2}$<

Nyt jos kerromme ensimmäisen yhtälön kolmella ja toisen yhtälön neljällä ja laskemme yhteen nämä kaksi yhtälöä, saamme:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Selvästi, $f(y) = - \frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Tehtäväesimerkkejä

  • 2006 AMC 12A Tehtävä 18
  • 2007 AIME II tehtävä 14

Katso myös

  • Funktiot
  • Polynomit
  • Cauchyn funktionaalinen yhtälö

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.