Tämä on osa sarjaa yleisimmistä väärinkäsityksistä.

Tosi vai epätosi?

Ääretön on luku reaalilukusuoran päässä.

Miksi jotkut sanovat sen olevan totta: koska ääretön on luku, joka on suurempi kuin kaikki muut luvut.

Miksi jotkut sanovat, että se on väärin: koska ääretön ei ole luku eikä lukujonolla ole loppua.

Väite on väärä \color{#D61F06}{\textbf{false}}väärä.

Todistus:

Tässä on virheellinen käsitys siitä, että ”jos jatkat ylöspäin numeroviivaa pitkin ohi yhä suurempien ja suurempien laskentanumeroiden, niin lopulta laskentanumerot vain loppuvat (jossain sen pisteen jälkeen, jossa opettajasi kyllästyy tekemään tikkumerkkejä), ja siellä on äärettömyysmerkki (∞\infty∞) merkitsemässä numeroviivan loppua”. Vaihtoehtoisesti jotkut sanovat, että ”äärettömyys on lukujonon lopussa, mutta on vielä äärettömän monta lukua, jotka ovat pienempiä kuin äärettömyys ja jotka ovat äärettömän ja minkä tahansa muun pisteen välissä lukujonossa”. Molemmat käsitykset juontavat juurensa laskutoimituksiin liittyviin käsitteisiin, mutta molemmat ovat pohjimmiltaan virheellisiä.

Kun opettajasi ”päättää lukujonon” sanalla ∞\infty∞, tämä on itse asiassa harhaanjohtava lyhenne siitä, että lukujono jatkuu ikuisesti. Vähemmän harhaanjohtava tapa esittää tämä käsitys voisi olla numerojonon jatkaminen nuolella. Voisimme lisäksi ilmaista, että kokonaisluvut jatkuvat sen jälkeen, kun olemme päättäneet lopettaa niiden kirjaamisen, käyttämällä yleistä yleisnumerosarjan merkintätapaa: ”…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” kuvaamaan tässä tapauksessa kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoa. Tämä joukko tunnetaan yleisesti myös nimellä ”luonnolliset luvut (N\mathbb{N}N)” tai ”ei-negatiiviset kokonaisluvut”.

Väärinkäsitys on siinä, että valitaan, käsitelläänkö ∞\infty∞ kokonaislukuna tai kokonaislukuna vai yhtenä reaaliluvuista. Tämä ei ole sama asia kuin uskoa, että ∞\infty∞ on ”todellinen” tai ”epätodellinen” sanan englanninkielisessä merkityksessä. Äärettömyys on ”todellinen” ja hyödyllinen käsite. Ääretön ei kuitenkaan kuulu matemaattisesti määriteltyyn ”reaalilukujen” joukkoon, eikä se näin ollen ole luku reaalilukusuoralla.

Reaalilukujen joukko, R\mathbb{R}R, selitetään sen sijaan, että se määriteltäisiin useimmissa esikouluissa. Ja silloinkin se selitetään yleensä vain lyhyesti, kuvauksella ”kaikki pisteet lukujonolla” ja lisäyksellä, että ”negatiiviset reaaliluvut ovat 0:n vasemmalla puolella ja positiiviset luvut ovat 0:n oikealla puolella”.

Suurimmalle osalle oppilaista ei opeteta reaalilukujen tiukkaa määritelmää, ellei heistä tule matematiikan pääaineopiskelijoita yliopistossa. Yksi tavallisimmista silloin opittavista määritelmistä on, että reaaliluvut ovat rationaalilukujen Dedekindin leikkausten joukko. Kun reaaliluvuille annetaan jokin täsmällinen määritelmä, on heti selvää, että ”ääretön” ei kuulu reaalilukujen joukkoon.

Vastalause: Rajoja tutkittaessa ääretöntä (∞\infty∞) käsitellään kuten mitä tahansa muuta lukua. Miksi teemme näin laskennassa, jos ääretön ei ole itse asiassa luku?

Vastaus: Monille opetetaan rajoista esilaskennassa tai laskennassa juuri kuvaamallasi tavalla, ja tapa, jolla ääretöntä käsitellään, antaa harhaanjohtavasti ymmärtää, että ääretön on vain jokin luku. Jos esimerkiksi funktiolla on vaakasuora asymptootti 5:n kohdalla, voidaan sanoa, että f(x)f(x)f(x):n raja-arvo, kun xxx lähestyy ääretöntä, on viisi: Jos f(x)f(x)f(x)f(x)f(x):llä on pystysuora asymptootti pisteessä 171717, meille opetetaan sanomaan, että f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Tämä on monien oppilaiden ensimmäinen kosketus ∞\infty∞:hen, ja se on hyvin harhaanjohtava johdatus, koska se antaa ymmärtää, että ∞\infty∞:tä voidaan käsitellä lukuna, joka on yksinkertaisesti ”suurempi kuin kaikki muut luvut.”

Tässä yhteydessä äärettömyys on kuitenkin vain lyhenne hyvin määritellylle käsitteelle funktiosta, jolla ei ole raja-arvoa missään reaaliarvossa, vaan joka sen sijaan kasvaa ikuisesti rajattomasti. Katso lisätietoja wikistä funktioiden raja-arvoista!

Korjaus: Olen varmasti nähnyt äärettömyyden matematiikan oppikirjoissa, ja joskus se on määritelty lukuna, joka on suurempi kuin kaikki ei-äärettömät luvut. Miksi se on siellä, jos se ei ole todellinen matemaattinen käsite?

Vastaus: On todella olemassa matemaattisia lukujoukkoja, kuten kardinaaliluvut ja ordinaaliluvut, joissa monet eri tavoin määritellyt versiot ∞\infty∞:stä ovat lukuja. Ja tiukasti määritellyillä lukujärjestelmillä, jotka sisältävät ∞\infty∞:n, on monia arvokkaita sovelluksia. Esimerkiksi kardinaalilukujen joukossa ääretön on itse asiassa mitta sille, kuinka monta reaalilukua on olemassa. Reaalilukujen joukko R\mathbb{R}R on kuitenkin määritelty siten, että siitä puuttuu kaikki versiot äärettömyydestä.

Lisäksi, kun tarkastelemme kardinaalilukuja, meidän on muutettava intuitiotamme äärettömyydestä: se ei ole luku ”lukujonon” merkityksessä, kuten reaalilukuja sovelletaan. Sen sijaan se on käsite, jolla mitataan ja verrataan joukkojen kokoja.

Katso myös

• Reaaliluvut
• Esitys reaalilukulinjalla
• Dedekindin leikkaukset
• Funktioiden rajat
• Luettelo yleisistä väärinkäsityksistä

.