Idea

Banach-avaruus â¬\mathcal{B} on yhteensopivalla tavalla sekä vektoriavaruus (normitetun kentän, kuten â\mathbb{R}, yli) että täydellinen metrinen avaruus. Siis täydellinen normitettu vektoriavaruus.

Yksinkertaisten Banach-avaruuksien lähde saadaan tarkastelemalla karteesiavaruutta â n\mathbb{R}^n (tai K nK^n, jossa KK on normitettu kenttä), jolla on normi:

jossa 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (tämä ei ole varsinaisesti järkevää, jos p=âp = \infty, mutta ottamalla raja-arvoksi pââp \to \infty ja lukemalla â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n suorana raja-arvona (vastakohtana käänteisraja-arvolle) saamme kaavan â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Näiden avaruuksien teoria ei kuitenkaan ole paljon monimutkaisempi kuin äärellisulotteisten vektoriavaruuksien teoria, koska niillä kaikilla on sama perustopologia. Kun tarkastelemme ääretönulotteisia esimerkkejä, asiat muuttuvat kuitenkin hankalammiksi. Yleisiä esimerkkejä ovat Lebesgue-avaruudet, Hilbert-avaruudet ja sekvenssiavaruudet.

Kirjallisuudessa tavataan useimmiten Banach-avaruuksia reaalilukujen â\mathbb{R}-kentän päällä; Banach-avaruudet kompleksilukujen â\mathbb{C}-kentän päällä eivät juurikaan eroa toisistaan, koska nekin ovat â\mathbb{R}:n päällä. Mutta niitä tutkitaan myös p-adekaanisten lukujen yli. Ellei toisin mainita, oletamme jäljempänä â\mathbb{R}.

Määritelmät

Olkoon VV vektoriavaruus reaalilukujen kentän päällä. (Kentän valintaa voidaan jonkin verran yleistää.) VV:n pseudonormi (tai seminormi) on funktio

sellainen, että:

1. â0ââ¤0 {\|0\|} \leq 0 ;
2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (kun rr on skalaari ja vv vektori);
3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {\|v\|} + {\|w\|} .

Yllä olevasta seuraa, että âvââ¥0{\|v\|} \geq 0; erityisesti â0â=0{\|0\|} = 0. Normi on pseudonormi, joka tyydyttää käänteisnormin: v=0v = 0 jos âvâ=0{\|v\|} = 0.

Normi VV:llä on täydellinen, jos minkä tahansa äärettömän sarjan (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) ollessa sellainen, että

on olemassa (välttämättä ainutkertainen) summa SS siten, että

kirjoitamme

(oikeanpuoleinen puoli on määrittelemätön, jos sellaista summaa ei ole olemassa).

Banach-avaruus on siis yksinkertaisesti täydellisellä norminomaisella norminomaisuudella varustettu vektoriavaruus. Kuten reaaliviivalla, meillä on Banach-avaruudessa, että

jolloin vasemmanpuoleinen puoli on taatusti olemassa, jos oikeanpuoleinen puoli on olemassa äärellisenä reaalilukuna (mutta vasemmanpuoleinen puoli voi olla olemassa, vaikka oikeanpuoleinen eroaisi, tavallinen ero absoluuttisen ja ehdollisen konvergenssin välillä).

Jos emme vaadi, että avaruus on täydellinen, kutsumme sitä normitetuksi (vektori)avaruudeksi. Jos meillä on topologinen vektoriavaruus siten, että topologia tulee jostain normista, mutta emme tee varsinaista valintaa tällaisesta normista, puhumme normitettavasta avaruudesta.

Banachin avaruudet metrisinä avaruuksina

Pseudonormin kolme aksioomaa ovat hyvin samankaltaisia kuin pseudometrin kolme aksioomaa.

Missä tahansa pseudonormitetussa vektoriavaruudessa etäisyys d(v,w)d(v,w) olkoon

Tällöin dd on pseudometriikka, joka on käännösinvariantti siten, että

tulee aina voimaan. Kääntäen, kun annetaan jokin translaatioinvariantti pseudometrinen dd vektoriavaruudessa VV, olkoon âvâ{\|v\|}

Tällöin âââ{{\|-\|} täyttää pseudonormin aksioomat (1â3), paitsi että se voi täyttää (2) vain r=0,±1r = 0, \pm 1. (Toisin sanoen se on vain G-pseudonormi.) Se on itse asiassa pseudonormi, jos pseudometriikka täyttää homogeenisuussäännön:

Siten pseudonormit vastaavat täsmälleen homogeenisia käännösinvariantteja pseudometriikoita.

Vaikka normit vastaavat homogeenisia käännösinvariantteja metriikoita ja täydelliset normit vastaavat täydellisiä homogeenisia käännösinvariantteja metriikoita. Itse asiassa (1) sanoo, että osasummien sarja on Cauchyn sarja, kun taas (2) sanoo, että osasummien sarja konvergoi SS:ään.

Siten Banach-avaruus voidaan ekvivalentisti määritellä vektoriavaruudeksi, joka on varustettu täydellisellä homogeenisella käännösinvariantilla metriikalla. Itse asiassa tavallisesti nähdään eräänlainen hybridi lähestymistapa: Banach-avaruus on normitettu vektoriavaruus, jonka vastaava metriikka on täydellinen.

Banach-avaruuksien väliset kartat

Jos VV ja WW ovat pseudonormitettuja vektoriavaruuksia, niin lineaarisen funktion f:VâWf\colon V \to W:n normi voidaan määritellä jommallakummalla seuraavista ekvivalenteista tavoista:

• âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\||} \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
• âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\||} \leq r {\|vv\|} \} .

(Joskus nähdään muitakin muotoja, mutta ne voivat hajota degeneroituneissa tapauksissa.)

Kiinniulotteisissa tiloissa kaikilla lineaarisilla kartoilla on hyvin määritelty äärellinen normi. Yleensä seuraavat ovat ekvivalentteja:

• ff on jatkuva (mitattuna VV:n ja WW:n pseudometrioilla) 00:ssa;
• ff on jatkuva (kaikkialla);
• ff on tasaisesti jatkuva;
• ff on Lipschitz-jatkuva;
• âfâ\|f\|} on äärellinen (ja konstruktiivisessa matematiikassa paikannettu);
• ff on rajattu (mitattuna VV:n ja WW:n pseudometrioiden antamilla bornologioilla).

Tällöin sanomme, että ff on rajattu. Jos f:VâWf\colon V \to W ei oleteta olevan lineaarinen, edellä mainitut ehdot eivät ole enää ekvivalentteja.

Rajoitetut lineaariset kartat VV:stä WW:hen muodostavat itsessään pseudonormitetun vektoriavaruuden â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Tämä on Banach-avaruus, jos (ja, lukuun ottamatta VV:n degeneroituneita tapauksia, vain jos) WW on Banach-avaruus. Näin Banach-avaruuksien kategoria BanBan on suljettu kategoria, jonka yksikkönä on â\mathbb{R}.

Ovela lukija huomaa, ettemme ole vielä määritelleet Ban\mathbf{Ban}:a kategoriana! (yllättäen nLabissa) On monia (ei-ekvivalentteja) tapoja tehdä niin.

Funktionaalianalyysissä tavallinen käsite âisomorfismiâ Banach-avaruuksille on rajattu bijektiivinen lineaarinen kartta f:VâWf\colon V \to W siten, että käänteisfunktio f â1:WâVf^{-1}\colon W \to W \to V (joka on väistämättömästi lineaarinen) on niin ikään rajattu. Tällöin voidaan hyväksyä kaikki Banach-avaruuksien väliset rajatut lineaariset kartat morfismeiksi. Analyytikot kutsuvat tätä joskus âisomorfiseksi kategoriaksiâ.

Toinen luonnollinen käsite isomorfismille on surjektiivinen lineaarinen isometria. Tällöin pidämme morfismia lyhyenä lineaarisena karttana tai lineaarisena supistumisena: lineaarinen kartta ff siten, että âfââ¤1{\|f\|} \leq 1. Tätä luokkaa, jota kategoriateoreetikot kutsuvat yleensä nimellä Ban\mathbf{Ban}, kutsutaan joskus analyytikoissa âisometriseksi luokaksiâ. Huomaa, että tämä tekee Banach-avaruuden (Ban\mathbf{Ban}:n merkityksessä konkreettisena kategoriana, kuten mikä tahansa suljettu kategoria) sen (suljetusta) yksikköpallosta

sen sijaan VV:n kaikkien vektoreiden joukko (VV:n taustalla oleva joukko vektoriavaruutena).

Kategoriateoreetikon näkökulmasta isomorfinen kategoria on oikeastaan täysi kuva inkluusiofunktiosta BanBanista TVSTVS:ään (topologisten vektoriavaruuksien kategoria), joka voidaan merkitä Ban TVSBan_{TVS}. Jos työskentelet Ban TVSBan_{TVS}:ssä, välität vain avaruutesi topologisesta lineaarisesta rakenteesta (tosin välität myös siitä, että se voidaan johtaa jostain metriikasta); jos työskentelet BanBanissa, välität kaikesta avaruuden rakenteesta.

Esimerkkejä

Monia esimerkkejä Banach-avaruuksista parametrisoidaan eksponentilla 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty. (Joskus voidaan kokeilla myös 0â¤p<10 \leq p \lt 1, mutta nämä eivät yleensä anna Banach-avaruuksia.)

• Kartesiallinen avaruus â n\mathbb{R}^n on Banachin avaruus, jossa

  â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\summa_i {|x_i|^p}} .

  (Voimme sallia p=âp = \infty ottamalla rajan; tuloksena on, että âxâ â=max i|x i|{\|x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}). Jokainen äärellisulotteinen Banachin avaruus on isomorfinen tälle avaruudelle joillekin nn:lle ja pp:lle; itse asiassa, kun nn on vahvistettu, pp:n arvolla ei ole merkitystä isomorfismiin asti.

• Sekvenssiavaruus l pl^p on äärettömien sekvenssien (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) reaaliluvuista siten, että

  â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}}

  on äärellinen reaaliluku. (Ainoa kysymys on, konvergoituuko summa. Jälleen p=âp = \infty on raja-arvo, jolloin âxâ â=sup i|x i|{\|x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}).) Tällöin l pl^p on Banach-avaruus, jolla on kyseinen normi. Nämä ovat kaikki versioita â â\mathbb{R}^\infty:stä, mutta ne eivät ole enää isomorfisia eri pp:n arvoille. (Katso Banach-avaruuksien isomorfismiluokat.)

• Yleisemmin, olkoon AA mikä tahansa joukko ja olkoon l p(A)l^p(A) niiden funktioiden ff joukko AA:sta â\mathbb{R}:iin, jotka ovat sellaisia, että

  âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

  on äärellinen reaaliluku. (Jälleen, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}).) Tällöin l p(A)l^p(A) on Banachin avaruus. (Tämä esimerkki sisältää edelliset esimerkit, sillä AA on laskettava joukko.)

• Missä tahansa mitta-avaruudessa XX Lebesgue-avaruus â p(X)\mathcal{L}^p(X) on mitattavissa olevien melkein kaikkialla määriteltyjen reaaliarvoisten funktioiden joukko XX:ssä siten, että

  âfâ p=â”|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}}

  on äärellinen reaaliluku. (Jälleen kerran ainoa kysymys on, konvergoituuko integraali. Ja taas p=âp = \infty on raja-arvo, mistä seuraa, että âfâ â{\|f\|_\infty} on |f|{|f|}:n olennainen supremum). Sellaisenaan â p(X)\mathcal{L}^p(X) on täydellinen pseudonormitettu vektoriavaruus; mutta tunnistamme funktioita, jotka ovat melkein kaikkialla yhtä suuria, jotta siitä tulisi Banachin avaruus. (Tämä esimerkki sisältää edelliset esimerkit, sillä XX on joukko, jolla on laskentamitta.)

• Jokainen Hilbert-avaruus on Banach-avaruus; tämä sisältää kaikki edellä mainitut esimerkit, kun p=2p = 2.

Operaatiot Banach-avaruuksille

Banach-avaruuksien kategoria BanBan on pienen täydellinen (small complete), pienen ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-ko-o, ja sen vakioisen sisäisen sisäisen hom-ko-ko-koon suhteen suljettu sulkeutuneena. Joitakin yksityiskohtia seuraa.

• Banach-avaruuksien kategoria sallii pieniä tuotteita. Annetaan pieni Banach-avaruuksien perhe {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, sen tuote BanBanissa on vektoriavaruuden tuotteen aliavaruus

  â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

  joka koostuu AA-pareista â¨x αâ©\kulma x_\alpha \kulma, jotka ovat tasaisesti rajattuja (ts. on olemassa CC, joka on sellainen, että âαâA:âx αââ¤C\kaikille \alpha \:lle A:ssa: {\|x_\alpha\|} \leq C), jolloin pienin tällainen yläraja on â¨x αâ©\kulman x_\alpha \kulman normi. Tätä normia kutsutaan â\infty-normiksi; erityisesti AA-indeksillä varustetun â\mathbb{R}- tai â\mathbb{C}-kopioperheen kopioiden tulo on se, mitä tavallisesti merkitään l â(A)l^{\infty}(A).

• Banach-avaruuksien kategoria sallii ekvalisaattoreita. Itse asiassa BanBanissa olevan karttaparin f,g:XâYf, g: X \oikeaoikeaarvot Y ekvalisaattori on fâgf-g:n ydin XX:stä perityn normin mukaan (ydin on suljettu, koska fâgf-g on jatkuva, ja siten täydellinen). Itse asiassa jokainen ekvalisaattori on Hahn-Banachin lauseen mukaan jopa leikkaus. Jokainen äärimmäinen monomorfismi on jo tasainen ekvalisaattori (ja leikkaus): Olkoon f:XâYf\colon X \to Y äärimmäinen monomorfismi, ι:â(f)âY\iota\colon \Im(f) \to Y Im(f)Im(f):n sulauttaminen ff:n codomainiin ja fâ²:XâIm(f)f\prime \colon X \to Im(f) ff:n rajoitetulla codomainilla. Koska fâ²f\prime on epimorfismi, f=ιfâ²f=\iota f\prime ja ff ekstremalinen, fâ²f\prime on isomorfismi, joten ff on upotus.

• Banach-avaruuksien kategoria sallii pieniä koprodukteja. Annetaan pieni Banach-avaruuksien perhe {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, sen koprodukti BanBanissa on vektoriavaruuden koproduktion komplementti

  ⨠αâAX α\bigoplus_{\alpha \in A} X_\alpha

  normin suhteen, joka saadaan

  â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\|x_s\|} ,

  jossa SâAS \subseteq A on äärellinen ja âx sâ{\|x_s\|} tarkoittaa X sX_s:n alkion normia. Tätä normia kutsutaan 11-normiksi; erityisesti â\mathbb{R}:n tai â\mathbb{C}:n kopioiden AA-indeksoidun perheen koprodukti on se, mitä yleensä merkitään l 1(A)l^1(A).

• Banach-avaruuksien kategoria sallii coequalizers. Karttaparin f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y coequalizer on nimittäin fâgf-g:n cokernel quotienttinormin alainen (jossa coset y+Cy + C:n normi on pienin normi, jonka y+Cy + C:n alkiot saavuttavat; tässä CC:llä tarkoitetaan kuvaa (fâg)(X)(f-g)(X), joka on suljettu). On tavallista, että lainausnormi Y/CY/C:llä on täydellinen, kunhan normi YY:llä on täydellinen.

• Kuvaamaan tensorituotosta Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y kahdesta Banach-avaruudesta (tehden BanBanista symmetrisen monoidisen suljetun sen tavanomaisen sisäisen hom:n suhteen), olkoon F(XÃY)F(X \times Y) joukon XÃYX \times Y synnyttämä vapaa vektoriavaruus, jonka normi tyypilliselle alkiolle on määritelty seuraavasti:

  ââ 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââ ây iâ. {\left\| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\||} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\|x_i\|} \cdot {\|y_i\|}.

  Kirjoittakoon F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) sen täydennystä tämän normin suhteen. Otetaan sitten F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y):n cokernel ilmeisten bilineaaristen relaatioiden kattaman aliavaruuden sulkeutumisena. Tämä osamäärä on Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

Banach-avaruuksia käsittelevässä kirjallisuudessa edellä mainittua tensoriproduktiota kutsutaan yleensä Banach-avaruuksien projektiiviseksi tensoriproduktioksi; ks. muut Banach-avaruuksien tensoriproduktiot. Tuotosta ja koproduktiota pidetään suorina summina; ks. muut Banach-avaruuksien suorat summat.

Kuvaillaan:

• duaalit (p+q=pqqp + q = p q);
• täydentäminen (BanBan on PsNVectPsNVect:n (pseudonormaalit vektoriavaruudet) refleksiivinen alaluokka).
• BanBan (hieman laajempana) kategoriana, jolla on duaalit.

Integraatio Banach-avaruuksissa

Tässä kappaleessa kuvataan joitakin Banach-avaruuksien integraatioteorian näkökohtia, jotka ovat merkityksellisiä AQFT:tä koskevan kirjallisuuden ymmärtämisen kannalta. Tässä yhteydessä Banach-avaruuden â¬\mathcal{B} alkioita kutsutaan joskus vektoreiksi, funktiota tai mittaa, jotka ottavat arvoja â¬\mathcal{B}:ssä, kutsutaan siis vektorifunktioiksi ja vektorimitoiksi. Funktioita ja mittoja, jotka ottavat arvoja kentässä, jolle Banach-avaruus on määritelty vektoriavaruutena, kutsutaan skalaarifunktioiksi ja skalaarimitoiksi.

Tarkastelemme kahdenlaisia integraaleja:

• vektorifunktioiden integraaleja skalaarimitan suhteen, erityisesti Bochnerin integraali,

• skalaarifunktioiden integraaleja vektorimitan suhteen,

• nimeltään normaalioperaattorin spektriintegraaliksi Hilbertin avaruudessa.

Bochnerin integraali

Bochnerin integraali on Lesbeguen integraalin suora yleistys funktioille, jotka ottavat arvoja Banach-avaruudessa. Aina kun AQFT-kirjallisuudessa törmää integraaliin funktiolle, joka ottaa arvot Banach-avaruudessa, on turvallista olettaa, että se on tarkoitettu Bochnerin integraaliksi. Kaksi jo Wikipediassa selostettua seikkaa ovat kiinnostavia:

1. Versio dominoidun konvergenssin teoreemasta pätee Bochnerin integraalille.
2. On olemassa teoreemoja, jotka eivät päde Bochnerin integraalille, erityisesti Radon-Nikodymin teoreema ei päde yleisesti.

• Wikipedia

viittaus: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH-merkintä), luku IV.

Spektraalinen integraali

Integraali Hilbert-avaruuden rajoitetun normaalin operaattorin spektraalisen mitan suhteen on esimerkki Banach-avaruuden integraalista vektorimittaan nähden. Tässä kappaleessa esitämme hyvin tunnetun, mutta hieman harvemmin siteeratun tuloksen, joka on hyödyllinen joissakin AQFT:n lähestymistapojen todisteissa, se on versio dominoidun konvergenssin teoreemasta kyseiselle asetelmalle.

Olkoon A rajattu normaalioperaattori Hilbert-avaruudessa ja E sen spektraalinen mitta (âidentiteetin resoluutioâ Dunfordin ja Schwartzin termein). Olkoon Ï(A)\sigma(A) A:n spektri. Rajoitetulle kompleksiselle Borel-funktiolle f on silloin

Ominaisuudet

Suhde bornologisiin avaruuksiin

Jokainen Banach-avaruuksien induktiivinen raja-arvo (induktiivinen raja-arvo)

Banach-avaruuksien jokainen induktiivinen raja-arvo (induktiivinen raja-arvo)