Esittely

Kappaleen valmistelu, mittauksen tekeminen ja tuloksen rekisteröinti muodostavat yksinkertaistetun kuvan kappaleella tehtävästä fysikaalisesta kokeesta. Toistamalla sama toimenpide useita kertoja voidaan kerätä tilastoja (suhteellisia frekvenssejä) rekisteröidyistä tuloksista. Ajatus tilastollisesta kausaalisuudesta ilmaisee sitten uskomuksen siitä, että näitä tilastoja voidaan approksimoida ja mallintaa todennäköisyysmitalla, joka riippuu mittauksesta ja valmistelusta.

Tämä yksinkertainen kuva annetaan usein intuitiivisena taustatietona muotoiltaessa objektien probabilistisia fysikaalisia teorioita, jotka rakentuvat tilojen (valmisteiden ekvivalenssiluokkien) ja havaintokohteiden (mittausten ekvivalenssiluokkien) käsitteiden väliseen tilastolliseen dualiteettiin, jossa dualiteetti annetaan todennäköisyysfunktiolla, joka antaa kullekin tilalle ja kullekin havaintokohteelle todennäköisyysmitan, joka laskee ulos mittaustuloksen todennäköisyydet tälle havaintokohteelle kyseisessä tilassa.

Aksiomaattisessa lähestymistavassa pyritään esittelemään fysikaalisesti uskottavia rakenteita kaikkien ajateltavissa olevien tilojen (valmisteiden) ja havaintomuuttujien (mittausten) kokoelmille siten, että todennäköisyysfunktion muoto voidaan määrittää.

Tässä artikkelissa hahmotellaan tällainen lähestymistapa kvanttimekaniikkaa varten. §2:ssa muistutetaan lyhyesti yleisestä kehyksestä ja asiaankuuluvista Hilbert-avaruuden rakenteista. §3:ssa käytetään Solérin teoreemaa yleisen ortomodulaarisen rakenteen tunnistamiseksi Hilbertin rakenteeseen. Tässä ratkaisevassa lauseessa piilevän symmetrian rooli paljastetaan. Lopuksi tarkastellaan joitakin argumentteja, jotka osoittavat, että kvanttimekaniikka on muotoiltava kompleksisessa Hilbert-avaruudessa (§4).

Perusrakenteet

(a) Lähtökohta

Olkoot S ja O kaksi ei-tyhjää joukkoa, tutkittavan fysikaalisen systeemin kaikkien tilojen ja kaikkien havaintomuuttujien joukkoja. Havaittavaan liittyy ei-tyhjä joukko Ω ja Sigma-algebra , joka koostuu Ω:n osajoukoista. Annetaan tai vain E, merkitä havaittavaa. Joukon Ω katsotaan kuvaavan havaittavan mahdollisia mittaustuloksia, kun taas σ-algebran alkiot ymmärretään koejoukkoina, joiden sisällä tulosryhmät lasketaan. Useimmissa sovelluksissa tämä joukko on reaaliviivan (tai -tason) osajoukko (avoin tai suljettu) ja σ-algebra on vastaavat Borelin joukot.

Tässä noudatetun lähestymistavan perusoletus on seuraava: jokaiselle tilalle α∈S ja jokaiselle havaittavuudelle E on olemassa todennäköisyysmitta , joka antaa havaittavuuden E mittaustulosten todennäköisyydet tilassa α.

Tilojen joukko S on luonnollisesti varustettu konveksisella rakenteella, ja sellaisena sitä voidaan tarkastella reaalisen vektoriavaruuden konveksisena osajoukkona. Tämän rakenteen avulla voidaan erottaa toisistaan puhtaat tilat, jotka ovat S:n äärialkioita, ja sekatilat, jotka ovat sen ei-äärialkioita. Annamme ex(S):n merkitä puhtaiden tilojen joukkoa, vaikka se voi aluksi olla tyhjä. Jos α=λβ1+(1-λ)β2 on tilojen β1,β2 sekoitus, jonka paino on 0≤λ≤1, niin S:n koveran rakenteen määritelmän mukaan p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) kullekin havainnoitavalle E ja arvojoukolle . Jokainen pari (E,X) määrittelee siis affiinisen funktion S∋α↦p(α,E,X)∈. Sanomme, että affiininen funktio f:S→ on kokeellinen funktio eli efekti, jos f(α)=p(α,E,X) jollekin parille (E,X). Merkitään E⊂S kaikkien kokeellisten funktioiden joukkoa. On selvää, että 0,1∈E ja jos f∈E, niin myös f⊥=1-f∈E. Funktioiden luonnollinen järjestys S→ antaa E:lle osittain järjestetyn joukon rakenteen, jolla on universaalit rajat 0,1, ja kartta f↦f⊥ on involutiivinen anti-automorfismi. On selvää, että E:n ei tarvitse olla ristikko (suhteessa ≤) eikä kartan f↦f⊥ tarvitse olla ortokomplementaatio. Toisinaan voimme myös tarkastella tiloja funktioina E:ssä kirjoittamalla α(f)=f(α). Ne säilyttävät sekä järjestyksen että involuution.

On käynyt ilmi, että teorian aksioomien muotoilussa tilojen ja kokeellisten funktioiden paria (S,E) on helpompi käsitellä kuin tilojen ja havaintolukujen paria . Huomaa myös, että jokainen f∈E yhdessä f⊥∈E:n kanssa voidaan ymmärtää kyllä-ei-mittaukseksi (tai kaksiarvoiseksi havaintoaineeksi), jolloin f(α)=p(α,E,X) ja f⊥(α)=p(α,E,X′) antavat todennäköisyydet kyllä- ja ei-tuloksille.

(b) Hilbert-avaruuden tapaus

Ennen kuin menemme pidemmälle yleisen rakenteen kanssa, muistutetaan muutamista Hilbert-avaruuden kvanttimekaniikan tunnetuista seikoista. Oletetaan, että tilojen joukko S voidaan samaistaa kompleksisen separoituvan Hilbert-avaruuden positiivisen jäljen yksi operaattoreiden joukkoon . Tällöin jokainen kokeellinen funktio f laajenee positiiviseksi lineaariseksi funktionaaliksi :ssa, itseadjungoituneessa jälkiluokassa. Näin ollen mille tahansa f:lle on olemassa yksikäsitteinen positiivinen yksikkörajaton operaattori 0≤E≤I siten, että f(α)=tr kaikille α∈S. Olkoon (E,X) pari, jolle f(α)=p(α,E,X)=tr. Koska mille tahansa α:lle kartta X↦p(α,E,X) on todennäköisyysmitta, päättelemme, että havaittavissa oleva E on normalisoitu positiivinen operaattorimitta . Tässä on luontevaa olettaa, että kaikkien koefunktioiden joukko E samaistetaan koko joukkoon vaikutusoperaattoreista, positiivisiin yksikkörajoihin sidottuihin operaattoreihin .

Oletetaan seuraavaksi, että koefunktioiden joukko E on yhteneväinen projisiointiritilän kanssa . Tällöin mitä tahansa tilaa voidaan tarkastella todennäköisyysmittana :ssa. Gleasonin lauseen mukaan, jos mikä tahansa todennäköisyysmitta :lla syntyy ainutkertaisesta positiivisesta trace one -operaattorista, saadaan taas todennäköisyyksille trace-kaava: mille tahansa :lle pätee: P(α)=α(P)=tr, missä tila α identifioidaan Gleasonin lauseen antaman :n elementin kanssa. Tässä lähestymistavassa on luontevaa olettaa, että tilojen joukko S on yhteneväinen kaikkien :n ja siten :n todennäköisyysmittojen joukon kanssa, jolloin havaintomuuttujat voidaan identifioida normalisoitujen projektioarvoisten mittojen kanssa.

Voidaan myös lähteä siitä oletuksesta, että kokeellisten funktioiden joukko E samaistetaan vaikutusoperaattoreiden koko joukkoon . Silloin taas mikä tahansa tila rajoitettuna osajoukkoonsa voidaan identifioida :n elementtiin, jolloin jälkikaava antaa todennäköisyydet.

Viimeiseksi voidaan olettaa, että ja että mikä tahansa tila α:E→ ei ainoastaan säilytä järjestystä ja involuutiota, vaan on myös osittain additiivinen (eli kaikille , jos , niin α(A+B)=α(A)+α(B)) ja että sillä on seuraavanlainen jatkuvuusominaisuus: jos (Ai)i∈I on kasvava verkko , niin . Tällöin taas ilman Gleasonin teoreemaa jokainen tila α voidaan identifioida ainutkertaiseen :n elementtiin ja α(E)=tr.

(c) Ortomodulaarinen tapaus

(i) Yleisrakenne

Tilastolliseen dualiteettiin (S,E) perustuvassa aksiomaattisessa lähestymisessä strategiana on asettaa fysikaalisesti uskottavia olettamuksia valmistelujen ja mittausten mahdollisuuksista. Sekä Mackey-lähestymistapa (kvanttilogiikka) että Davies-Lewis-lähestymistapa (konveksisuus) jakavat tämän yhteisen taustan.

Preparaattien osalta tyypillinen oletus koskee riittävän suuren puhtaiden tilojen (maksimaalisen informaation tilojen) joukon olemassaoloa esimerkiksi siinä mielessä, että tämä joukko on riittävän suuri määrittämään kokeellisten funktioiden järjestyksen. Toinen yleinen oletus on, että puhtaita tiloja voidaan paitsi preparoida myös tunnistaa sopivilla kyllä-ei-mittauksilla. Tämä oletus kietoo jo toisiinsa tilojen ja kokeellisten funktioiden joukot, kyllä-ei-mittaukset, yli dualismin. Joukon E rakennetta koskevat lisäoletukset muotoillaan tyypillisesti vaatimukseksi siitä, että on olemassa riittävän suuri osajoukko L⊂E kyllä-ei-mittauksia, jotka kelpaavat ideaalisiksi, ensiluokkaisiksi ja toistettaviksi mittauksiksi.

Mackeyn ja Daviesin & Lewisin uraauurtavista teoksista & lähtien edellä mainittuja argumenttityyppejä on tutkittu kirjallisuudessa laajalti; ks. vaikkapa monografioita tai hiljattain ilmestynyttä katsausta . Emme toista näitä argumentteja, vaan toteamme vain tunnetun lopputuloksen:

• (a) On olemassa vaikutusten osajoukko L⊂E, joita kutsutaan propositioiksi tai teräviksi vaikutuksiksi, jolla on rakenne L=(L,≤,⊥,0,1) osittain järjestetystä, ortokomplementoituneesta, ortomodulaarisesta, täydellisestä ristikosta, jolla on universaalit raja-arvot 0 ja 1 ja jolla on atomistinen, separoituvuusasteinen, jolla on peittävyys-ominaisuus, ja se on redusoitumaton.

• (b) Tilojen joukkoa S voidaan tarkastella σ-konveksisena todennäköisyysmittojen joukkona L:llä, jolla on puhtaiden tilojen riittävä joukko ex(S): mille tahansa a,b∈L, a≤b jos α(a)≤α(b) kaikille α∈ex(S).

• (c) Joukkojen ex(S), S:n puhtaiden tilojen, ja At(L), L:n atomien, välillä on bijektiivinen vastaavuus, joka saadaan tukiprojektiolla α↦s(α), jossa s(α) on pienin alkio, jolle α(b)=1,b∈L.

Kommentoimme tässä vain kahta, ehkä teknisimmältä näyttävää ominaisuutta: erotettavuutta ja redusoitumattomuutta. Mikä tahansa havaittavissa oleva E, jonka siihen liittyvät kokeelliset funktiot ovat propositioita (tai teräviä efektejä), voidaan nähdä σ-homomorfismina , jolloin alue on L:n Boolen ali-σ-algebra. L:n separoituvuus implikoi sen, että mikä tahansa L:n Boolen ali-σ-algebra voidaan nähdä havaittavissa olevan havaittavissa olevan alueena, jolla on reaaliarvoavaruus . L:n redusoitumattomuus osoittaa, että dualiteetti (S,E) kuvaa oikeaa kvanttikohtaa. Tämä ominaisuus seuraa nimittäin esimerkiksi siitä oletuksesta, että mille tahansa kahdelle puhtaalle tilalle α,β∈ex(S), α≠β on olemassa kolmas γ∈ex(S), α≠γ≠β, joka on niiden superpositio (esim. siinä mielessä, että γ:n tuki sisältyy α:n ja β:n tukien yhteyteen).

Kartta ⊥, kun se rajoitetaan L:ään, on todellakin ortokomplementaatio, ja se tekee L:stä ortomodulaarisen; toisin sanoen, mille tahansa a,b∈L, jos a≤b, niin b=a∨(a∧b⊥). Muistutetaan, että a:n ja b:n sanotaan olevan keskenään ortogonaalisia, a⊥b, jos a≤b⊥. Juuri näiden rakenteiden avulla voidaan määritellä todennäköisyysmittoja L:lle. Olkoon Prob(L) kaikkien L:n todennäköisyysmittojen joukko; eli kaikki ne kartat μ:L→, joille Inline Formula on minkä tahansa pareittain ortogonaalisten elementtien ai∈L sarjan osalta. Kohdan (b) mukaan tilojen joukko S on Sigma-konveksinen osajoukko Prob(L):stä, ja kohdan (c) mukaan puhtaat tilat ovat yksikäsitteisessä onto-korrespondenssissa L:n atomien kanssa. Vaikka se on ilmeistä, korostamme, että tilojen joukko voi olla kaikkien L:n todennäköisyysmittojen oma osajoukko.

Lauseiden joukon L, jolla on yllä olevan kohdan (a) ominaisuudet, tiedetään sallivan vektoriavaruuskoordinaation.

(ii) Ortomodulaarisen avaruuden realisaatio

Olkoon (V,K,*,f) Hermitianin avaruus, eli V on (vasen) vektoriavaruus jakorenkaan K yli, kartta K∋λ↦λ*∈K on involutiivinen anti-automorfismi ja kartta V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K on (ei-singulaarinen) Hermitin muoto.

Alitilan M⊂V sanotaan olevan f-suljettu, jos M=M⊥⊥, missä

V:n kaikkien f-suljettujen alitilojen joukko Lf(V) muodostaa redusoimattoman täydellisen ortokomplementoidun ristikon osajoukkojen inkluusion ⊆ ja kartan M↦M⊥ suhteen. Se on myös atomistinen ja sillä on kattavuusominaisuus. Se sisältää kaikki äärellisulotteiset aliavaruudet, ja yksiulotteiset aliavaruudet ={λv | λ∈K},v≠0, ovat Lf(V):n atomeja. Ristikon Lf(V) tiedetään olevan ortomodulaarinen täsmälleen silloin, kun avaruus (V,K,*,f) on ortomodulaarinen ; eli jos mille tahansa M∈Lf(V),

Käänteinen väite on kokoelma perustavanlaatuisia tuloksia projektiogeometriasta. Yksityiskohtaiset todistukset on esitetty Varadarajanin ja Maedan & Maedan kirjoissa & Maeda . Tämä tulos edellyttää, että ristikon L pituus, eli maksimiketjun pituus L:ssä, on vähintään 4, eli vektoriavaruus V on vähintään kolmiulotteinen.

Teoreema 2.1

Jos:n pituus on vähintään 4, niin on olemassa ortomodulaarinen avaruus (V,K,*,f) siten, että V:n f-suljettujen aliavaruuksien ristikko on orto-isomorfinen:n kanssa, lyhyesti sanottuna .

Tilojen joukko S voidaan nyt tunnistaa kaikkien Lf(V):n todennäköisyysmittojen osajoukoksi, eli S⊂Prob(Lf(V)); jokaisella α∈S:llä on tukensa s(α)∈Lf(V) ja jokainen M∈Lf(V) on jonkin α∈S:n tuki. Lisäksi puhtaat tilat α∈ex(S) ovat yksikäsitteisessä onto-korrespondenssissa atomien ∈Lf(V) kanssa, ja ne määräytyvät yksikäsitteisesti niiden arvojen mukaan atomeilla, eli lukujen α()∈ mukaan. On selvää, että jos (V,K,*,f) on klassinen ortomodulaarinen avaruus, eli Hilbert-avaruus yli , niin f on sisäinen tuote ja Gleasonin lauseen

mukaan minkä tahansa v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. Tällöin Lf(V):n kaikkien todennäköisyysmittojen joukko Prob(Lf(V)) on yhteneväinen kohteen tilojen S joukon kanssa, koska nyt.

Ylläolevat yleiset rakenteet, jotka koskevat paria (S,L), L⊂E, implikoivat, että ortomodulaarisen vektoriavaruuden V on sallittava runsas joukko todennäköisyysmittoja Lf(V):lle. Ääriulotteisessa tapauksessa tämä ei riitä muuttamaan avaruutta Hilbert-avaruudeksi. Jos nimittäin , , , jossa identiteettikartta on involuutiona , niin on ortomodulaarinen tila. Joukko on :n kaikkien aliavaruuksien joukko, ja jokaiselle yllä oleva kaava määrittelee todennäköisyysmitan :lle. Jos tarkoittaa kaikkien tällaisten todennäköisyysmittojen σ-konveksista runkoa :llä, niin parilla on kaikki edellä kohdissa (a)-(c) luetellut ominaisuudet, vaikka ei ole Hilbert-avaruus. Tässä tapauksessa on :n oikea osajoukko. (Yksityiskohdat, katso .) On olemassa myös ääretönulotteisia ortomodulaarisia avaruuksia, jotka eivät ole Hilbert-avaruuksia, mutta jotka sallivat rikkaat todennäköisyysmittajoukot . On kuitenkin edelleen avoin kysymys, pitääkö äärettömänulotteisen ortomodulaarisen avaruuden, jolla on ominaisuudet (b) ja (c), olla Hilbert-avaruus vai ei.

Solérin teoreema luonnehtii äärettömänulotteisten ortomodulaaristen avaruuksien joukossa olevia Hilbert-avaruuksia ominaisuudella, joka on ainakin osittain avoinna operationaaliselle perustelulle. Siirrymme tähän kysymykseen seuraavaksi.

Solérin lause ja symmetria

(a) Solérin lause

Tarkastellaan jälleen tilastollista dualismia (S,E), jolla on §2c(i):n (a)-(c) ominaisuudet. L:n separoituvuuden nojalla mikä tahansa L:n keskenään ortogonaalinen alkioiden perhe on korkeintaan laskennallisesti ääretön. On luonnollista olettaa, että tällaisia laskennallisesti äärettömiä sarjoja on olemassa; esimerkiksi luonnollisimmassa tapauksessa, jossa tarkasteltava fyysinen kohde voidaan lokalisoida euklidiseen avaruuteen, tämä ehto on taattu. Oletamme siis, että L:ssä on ainakin yksi ääretön sarja keskenään ortogonaalisia atomeja. Tällöin L:ään liittyvä ortomodulaarinen avaruus (V,K,*,f) on äärettömän mittainen, ja (nollasta poikkeavista) vektoreista (ei)⊂V on olemassa ainakin yksi ääretön sarja (ei)⊂V, joka on ortogonaalinen; eli f(ei,ej)=0 kaikille i≠j. Solérin teoreema luonnehtii Hilbert-avaruuksia tällaisten ortomodulaaristen avaruuksien joukossa.

Teoreema 3.1

Olkoon (V,K,*,f) äärettömänulotteinen ortomodulaarinen avaruus. Jos on olemassa ääretön ortogonaalinen sarja, jolla on ominaisuus

3.1

niin K on(reaaliluvut),(kompleksiluvut) tai(kvaternionit), ja (V,K,*,f) on vastaava Hilbert-avaruus.:lle involuutio * on identiteettikartta,:lle kompleksikonjugaatio ja:lle kvaternionikonjugaatio.

Ylimääräinen ”normiehto” (3.1) näyttää melko viattomalta, mutta on itse asiassa hyvin vahva ehto, kuten voidaan ymmärtää Kellerin työstä . Vaikka tämä ominaisuus ilmaistaan muodossa f eikä se suoraan liity dualiteetin ominaisuuksiin, sillä on siihen yhteys symmetriateorian kautta.

(b) Symmetria

Kvanttimekaniikassa on useita luonnollisia muotoiluja symmetrian käsitteelle, ja ne kaikki osoittautuvat samanarvoisiksi (esim ). Tämä pätee edelleen myös tilastollisille dualiteeteille, joilla on §2c(i):n ominaisuudet (a)-(c). Soveltaaksemme symmetriateoriaa lauseen 3.1 yhteydessä otamme käyttöön seuraavan määritelmän symmetrian käsitteelle: symmetria on bijektiivinen kuvaus ℓ:At(L)→At(L), joka on sellainen, että minkä tahansa p,q∈At(L) tapauksessa atomit p ja q ovat toisiinsa nähden ortogonaalisia, jos ja vain jos niiden kuvat ℓ(p) ja ℓ(q) ovat tällaisia. Muistutetaan, että Lf(V):n tapauksessa atomit ja ovat ortogonaalisia täsmälleen silloin, kun f(v′,u′)=0 joillekin ja siis kaikille nollasta poikkeaville vektoreille v′∈, u′∈. Koska atomit ja puhtaat tilat ovat yksikäsitteisessä onto-korrespondenssissa, voimme yhtä hyvin tarkastella symmetriaa bijektiona ex(S):llä, jolloin puhtaan tilan keskinäinen ortogonaalisuus tarkoittaa vastaavien atomien, puhtaan tilan tukien, keskinäistä ortogonaalisuutta.

Kuten Hilbert-avaruusteoriassa, mikä tahansa symmetria ℓ voidaan toteuttaa kartalla S, joka vaikuttaa taustalla olevaan vektoriavaruuteen V . Laajentamalla nimittäin symmetria ℓ:At(L)→At(L) (V,K,*,f):n projektiivisuudeksi, joka on järjestystä säilyttävä bijektio kaikkien V:n aliavaruuksien ristikkoon (esim ), saadaan projektiogeometrian ensimmäisestä perustavanlaatuisesta esitysteoreemasta yhdessä Birkhoff-von Neumannin lauseen äärettömänulotteisen version kanssa seuraava tulos.

Teoreema 3.2

Mille tahansa symmetria on olemassa ortogonaalisuutta säilyttävä bijektiivinen g-lineaarinen kartta S:V →V siten, että mille tahansa v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Jos T on toinen bijektiivinen h-lineaarinen kartta V →V, joka saa aikaan saman symmetrian, niin on olemassa λ∈K siten, että Sv=λTv mille tahansa v∈V . Lisäksi on olemassa ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, siten, että

3.2

kaikille u,v∈V .

Palautetaan mieleen, että käsite g-lineaarinen kartta S:V →V tarkoittaa, että S on additiivinen V:ssä, g:K→K on isomorfismi ja S(λv)=g(λ)Sv kaikille v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Olkoon , kaksi mitä tahansa toisiinsa nähden ortogonaalista atomiaLf(V):ssä. Jos on nollasta poikkeavia vektoreitax′∈ jay′∈ siten, että

niin on olemassa symmetria ℓ, joka vaihtaa atomit ja , eli ℓ()= ja ℓ()= ja on niiden superpositio kiintopisteenä, eli on olemassa atomi ≤∨ siten, että ℓ()=.

Tämä lemma, todistettu vuonna , viittaa siihen, että jotta tilastollisella dualiteetilla (S,E), jolla on §2c(i):n ominaisuudet (a)-(c), olisi Hilbert-avaruuden realisaatio, symmetrioiden joukon on oltava riittävän rikas. On syytä korostaa, että puhtaiden tilojen superposition käsitteellä, joka on myös L:n redusoitumattomuuden taustalla, on merkitystä tässä lemmassa. Lisäksi on mielenkiintoista palauttaa mieleen, että kvanttikohde on elementaarinen symmetriaryhmän G suhteen, jos on olemassa ryhmähomomorfismi, joka on määritelty G:lle ja joka ottaa arvot kaikkien At(L:n symmetrioiden joukossa Sym(L) siten, että mille tahansa puhtaalle tilalle α∈ex(S) joukko {ℓg(α) | g∈G} on täydellinen superpositioiden mielessä, eli mikä tahansa muu puhdas tila β∈ex(S) voidaan ilmaista joidenkin puhtaiden tilojen ℓg(α), g∈G superpositioina.

Asetetaan nyt, että mille tahansa kahdelle keskenään ortogonaaliselle atomille ja on olemassa symmetria ℓ siten, että ℓ()= ja ℓ()= jollakin ≤∨. Olkoon S,g,ρ kolmikko, joka toteuttaa ℓ:n lauseen 3.2 mukaisesti. Kaikille y′∈ on olemassa x′∈ siten, että Sx′=y′. Tällöin f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Oletetaan, että muoto f on sellainen, että jokaiselle v∈V:lle luku f(v,v) on K:n kommutoiva alkio, eli f(v,v)∈Cent(K), silloin mille tahansa z′∈, Sz′=λz′ jollekin λ∈K, ja siten λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Tämä yhtälö antaa g(ρ)=λλ* edellyttäen, että g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Tällöin myös f(y′,y′)=f(λx′,λx′), mitä tarvitaan lauseessa 3.

Yllä olevat havainnot osoittavat, että jos symmetrioiden joukko on riittävän runsas siinä mielessä, että jokaiselle pareittain ortogonaaliselle atomille on olemassa symmetria, joka vaihtaa atomit ja pitää niiden superpositiota kiintopisteenä, ja jos muoto f on riittävän säännönmukainen siinä mielessä, että jokaiselle v∈V , f(v,v)∈Cent(K) ja g(f(v,v))=f(v,v) mille tahansa K:n automorfismille g, niin Solérin lauseen ehdot täyttyvät, ja siten äärettömän moniulotteinen ortomodulaarinen avaruus (V,f,*,K), joka mallintaa tilastollista dualismia (S,E), jolla on §2c(i):n (a)-(c) -ominaisuudet (a)-(c), on Hilbertin avaruus yli :n tai :n.

Johtopäätöksenä toteamme, että muodon säännönmukaisuutta koskevaan kysymykseen asti kvanttisysteemin tilastollisen dualiteetin (S,E) äärettömänulotteisen Hilbert-avaruuden realisaation välttämättömyys on hyvin ymmärretty.

Tapaus

Jäämme vielä kysymykseen numerokentän valinnasta. Emme pysty antamaan tähän kysymykseen lopullista vastausta, mutta haluamme huomauttaa eräistä, periaatteessa tunnetuista tuloksista, jotka yhteenlaskettuina tukevat kompleksikentän valintaa kvanttimekaniikan kentäksi.

On hyvin tiedossa, että kvanttimekaniikan perusrakenteet pätevät yhtä lailla jokaisessa kolmesta tapauksesta, joissa äärettömänulotteinen Hilbert-avaruus on yli tai . Gleasonin lauseen , lause 4.23, mukaan systeemin tilat voidaan samaistaa yksikköjäljen positiivisiin operaattoreihin ja havaintomuuttujat normalisoituihin positiivisten operaattoreiden mittoihin , jolloin jälkikaava tr antaa mittaustulosten todennäköisyydet. Lisäksi terävät (projektioarvoiset) observaabelit ovat yksikäsitteisessä onto-korrespondenssissa itseadjungoitujen operaattoreiden kanssa, teoreema 4.11; systemaattisesta operaattoriteorian tutkimuksesta kvaternionisissa Hilbert-avaruuksissa (esim ). Lisäksi Solérin lauseen avulla lause 3.2 redusoituu Wignerin lauseeseen , lause 4.29.

Yhtä hyvin tiedetään, että näillä kolmella tapauksella on joitakin huomattavia eroja. Ainoastaan kompleksisessa tapauksessa yksiparametriset unitääriset ryhmät vastaavat Stonen lauseen kautta :ssa toimivia itseadjungoituja operaattoreita A. Reaalisessa ja kvaternionisessa tapauksessa tämä merkitsee tärkeitä muutoksia havaintomuuttujien rakenteeseen, jotka on määritelty niiden ominaissymmetriaominaisuuksien perusteella (esim. , kts. 22, , kts. 18, ). Muistutamme myös, että on olemassa symmetriamuunnoksia, jotka voidaan toteuttaa vain kompleksisessa tapauksessa (esim. ). Lisäksi Heisenberg-Kennard-Robertson-tyyppisten valmisteiden epävarmuussuhteiden johdettavuus ja ajan kääntämisen operaatio näyttävät vaativan kompleksilukuja (esim. , s. 66, , , s. 47-49). Erityisesti näyttää siltä, että kvanttimekaniikan systemaattinen tulkinta reaalisessa Hilbert-avaruudessa edellyttää käytännössä sen sulauttamista kompleksiseen avaruuteen. Siksi, vaikkei se olekaan loogisesti välttämätöntä, voitaisiin Occamin partaveitsen avulla sivuuttaa reaalinen tapaus tarpeettomana komplikaationa verrattuna siihen, että kvanttimekaniikka muotoiltaisiin kompleksisessa Hilbert-avaruudessa.

Entä kvaternionit? Adlerin laajan monografian Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields (Kvaternioninen kvanttimekaniikka ja kvanttikentät) kannalta saattaisi olla paikallaan kyseenalaistaa tämä mahdollisuus. Matemaattiselta kannalta ja myös yhteisymmärryksessä Adlerin kanssa voisi kuitenkin huomauttaa, että useimmat kvaternionisten Hilbert-avaruuksien operaattoriteorian tärkeät tulokset saadaan redusoimalla kompleksiseen tapaukseen käyttämällä ”viipaletekniikkaa”, jota sovelletaan esim. teoksessa . Näin ollen, kuten reaalitapauksessa, Occamin partaveitsen avulla voidaan myös kvaternionit sulkea pois. Kvaternioniseen kvanttimekaniikkaan liittyy kuitenkin perustavanlaatuinen ongelma, komposiittijärjestelmien ongelma. Käsittelemme tätä kohtaa lyhyesti seuraavaksi.

Yhdistelmäsysteemien teoria on yksi kvanttimekaniikan olennaisimmista osista sekä perustavasta että käytännöllisestä näkökulmasta. Olkoon siis (S,L,E), (S1,L1,E1) ja (S2,L2,E2) kolmen oikean kvanttisysteemin ja tilastolliset kuvaukset, ja olkoon , , i=1,2, niiden Hilbert-avaruuden realisaatiot, jolloin K,Ki on kussakin tapauksessa jokin tai .

Asetetaan, että on :n ja :n koostumus; eli ja ovat :n osasysteemejä ja koostuu niistä eikä mistään muusta. Tämä ajatus johtaa joihinkin ilmeisiin vaatimuksiin, jotka koskevat näiden kolmen järjestelmän tilastollisia kuvauksia (esim. , luku 24). Erityisesti on oltava injektiivisiä unitaalisia morfismeja (tunnistuskarttoja) hi:Li→L siten, että jokaiselle a1∈L1,a2∈L2 lauseet h1(a1),h2(a2)∈L ovat yhteensopivia (yhteismitattavia), ja mille tahansa kahdelle atomille (puhtaille tiloille) p1∈At(L1) ja p2∈At(L2) h1(p1)∧h2(p2) on L:n atomi (puhdas tila).

Analogisesti lauseen 3.2 kanssa voidaan osoittaa, että kartta

voi tässä yhteydessä toteutua (g1,g2)-bilineaarisella kartastollasiten, että

(ks. , lause 2.22 tai , lause 9 ja , lause 24.4.1). Erityisesti seuraa, että morfismit gi:Ki→K kommutoivat vastaavien involuutioiden kanssa, eli, jokaiselle λi∈Ki, sekä keskenään, eli g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) kaikille λi∈Ki.

Tarkastellaan nyt kvaternionista tapausta; eli oletetaan, että (ja siten myös ). Koska mikä tahansa :n automorfismi on sisäinen, on nyt, että molemmat gi:t ovat muotoa jollekin :lle. Mutta ei ole olemassa , jossa |c1|=|c2|=1, jolle

voisi päteä kaikille. Tästä voidaan päätellä, että kvanttimekaniikka kvaternionisilla Hilbert-avaruuksilla ei kykene kuvaamaan yhdistelmäjärjestelmiä, jotka on formalisoitu edellä kuvattujen tunnistuskarttojen avulla. On selvää, että tämä tulos, joka johtuu , liittyy kvaternionisten Hilbert-avaruuksien tensorituoton ongelmaan (esim ).

Toisaalta, jos , niin myös , lause 12, jolloin funktiot g1,g2 ovat joko identiteettejä tai kompleksikonjugaatioita. Neljä tapausta (g1,g2) johtavat neljään tensorituotteen ratkaisuun: , , ja , jolloin on :n duaaliavaruus (vrt. tai , kpl 24). Vaikka taustalla olevat Hilbert-avaruudet ovat isomorfisia vain pareittain ja , logiikat (projektioristikot) ovat isomorfisia kummassakin tapauksessa. Siksi pidämme niitä ekvivalentteina, ja päätämme käyttää , muut vaihtoehdot näyttäytyvät siten pikemminkin tarpeettomina komplikaatioina.

Johtopäätös

Todennäköisyyteen perustuvien fysikaalisten teorioiden yleistä kehystä käyttäen voidaan esittää fysikaalisesti uskottavia oletuksia fysikaalisen systeemin valmistelu- ja mittausmahdollisuuksista niin, että tuloksena oleva teoria on olennaisesti kvanttimekaniikan muoto äärettömän ulottuvuudellisessa Hilbert-avaruudessa reaalilukujen, kompleksilukujen tai kvaternionien yli. Kummassakin tapauksessa kvanttimekaniikan perusominaisuudet pysyvät voimassa: tilat ovat positiivisen jäljen operaattoreita, havaintomuuttujat ovat normalisoituja positiivisia operaattorimittoja ja Bornin sääntö (jälkikaava) antaa mittaustulosten todennäköisyydet. Reaali- ja kvaternionitapauksissa konkreettisten havaintomuuttujien määrittelemisestä niiden luonnollisten symmetriaominaisuuksien perusteella tulee kuitenkin hankalaa. Nämä komplikaatiot voidaan kuitenkin hoitaa, reaalisessa tapauksessa upottamalla reaalinen Hilbert-avaruus kompleksiseen, kvaternionisessa tapauksessa redusoimalla teoria kompleksiteoriaan. Näin ollen vaikuttaa siltä, että molemmat vaihtoehdot aiheuttavat vain tarpeettomia komplikaatioita verrattuna monimutkaiseen teoriaan. Lisäksi kvaternioninen kvanttimekaniikka kärsii siitä, että se ei pysty kuvaamaan yhdistejärjestelmiä.

Tietojen saatavuus

Tässä artikkelissa ei ole lisätietoa.

Tekijöiden panos

Tämä artikkeli on kirjoittajien pitkäaikaisen yhteistyön sivutuote. Kirjoittajilla on yhtäläiset, toisiinsa kietoutuneet panokset.

Kilpailevat intressit

Vakuutamme, ettei meillä ole kilpailevia intressejä.

Rahoitus

Emme ole saaneet rahoitusta tähän tutkimukseen.

Footnotes

Yksi artikkeli 15:stä teemanumeroon ’Second quantum revolution: foundational questions’.

Omistamme tämän artikkelin professori Maciej Ma̧czynskille hänen 80-vuotissyntymäpäivänsä kunniaksi.