Kvanttisähködynamiikka Muokkaa
Kvanttimekaniikan tuloon asti ainoa tunnettu esimerkki ulottumissymmetriasta oli sähkömagnetismissa, eikä käsitteen yleistä merkitystä ymmärretty täysin. Esimerkiksi oli epäselvää, olivatko kentät E ja B vai potentiaalit V ja A perussuureita; jos ensin mainittuja, ulottumismuunnoksia voitiin pitää pelkkänä matemaattisena temppuna.
Aharonov-Bohmin koe Muokkaa
Kaksoissalihalkeaman diffraktio ja interferenssikuvio
Kvanttimekaniikassa hiukkanen, kuten elektroni, kuvataan myös aaltona. Jos esimerkiksi kaksoisrakokoe suoritetaan elektroneilla, havaitaan aaltomainen interferenssikuvio. Elektronilla on suurin todennäköisyys tulla havaituksi paikoissa, joissa kahden raon läpi kulkevat aallon osat ovat samassa vaiheessa toistensa kanssa, jolloin syntyy konstruktiivinen interferenssi. Elektroniaallon taajuus liittyy yksittäisen elektronihiukkasen liike-energiaan kvanttimekaanisen suhteen E = hf avulla. Jos kokeessa ei ole sähkö- tai magneettikenttiä, elektronin energia on vakio, ja esimerkiksi elektroni havaitaan suurella todennäköisyydellä kokeen keskiakselilla, jossa symmetrian vuoksi aallon kaksi osaa ovat samassa vaiheessa.
Mutta nyt oletetaan, että kokeessa oleviin elektroneihin kohdistuu sähkö- tai magneettikenttiä. Jos esimerkiksi akselin toiselle puolelle asetettaisiin sähkökenttä, mutta toiselle puolelle ei, se vaikuttaisi kokeen tuloksiin. Kyseisen puolen läpi kulkeva elektroniaallon osa värähtelee eri nopeudella, koska sen energiaan on lisätty -eV, missä -e on elektronin varaus ja V sähköinen potentiaali. Kokeen tulokset ovat erilaiset, koska elektroniaallon kahden osan väliset vaihesuhteet ovat muuttuneet, ja siksi rakentavan ja tuhoavan interferenssin paikat siirtyvät toiselle tai toiselle puolelle. Tässä tapauksessa kyse on sähköpotentiaalista, ei sähkökentästä, ja tämä on osoitus siitä, että kvanttimekaniikassa olennainen merkitys on potentiaaleilla eikä kentillä.
Skeema kaksoisrakokokeesta, jossa Aharonov-Bohmin efekti voidaan havaita: elektronit kulkevat kahden raon läpi interferoiden havaintoruudussa, ja interferenssikuvio siirtyy, kun magneettikenttä B kytketään päälle sylinterimäiseen solenoidiin, joka on merkitty kuvaan sinisellä.
Selitys potentiaaleillaEdit
On jopa mahdollista, että on tapauksia, joissa kokeen tulokset eroavat toisistaan, kun potentiaaleja muutetaan, vaikka yhtään varattua hiukkasta ei koskaan altisteta eri kentälle. Yksi tällainen esimerkki on kuvassa esitetty Aharonov-Bohm-ilmiö. Tässä esimerkissä solenoidin kytkeminen päälle aiheuttaa vain magneettikentän B solenoidin sisällä. Solenoidi on kuitenkin sijoitettu niin, että elektroni ei voi mitenkään kulkea sen sisätilojen läpi. Jos uskottaisiin, että kentät ovat perussuureita, voitaisiin olettaa, että kokeen tulokset pysyisivät muuttumattomina. Todellisuudessa tulokset ovat erilaiset, koska solenoidin kytkeminen päälle muutti vektoripotentiaalia A alueella, jonka läpi elektronit kulkevat. Nyt kun on todettu, että potentiaalit V ja A ovat fundamentaalisia, eivätkä kentät E ja B, voimme nähdä, että mittarimuunnoksilla, jotka muuttavat V:tä ja A:ta, on todellista fysikaalista merkitystä, eivätkä ne ole pelkkiä matemaattisia artefakteja.
Mittarimuunnosinvarianssia: kokeiden tulokset eivät riipu potentiaalien mittarin valinnasta Muokkaa muokkaa
Huomatkaa, että näissä kokeissa ainoa tulokseen vaikuttava suuruus on elektroniaallon molempien osien vaiheiden välinen ero. Kuvitellaan, että elektroniaallon kaksi osaa ovat pieniä kelloja, joissa kummassakin on yksi viisari, joka pyörii ympyrää ja seuraa omaa vaihettaan. Vaikka tämä sarjakuva jättää huomiotta joitakin teknisiä yksityiskohtia, se säilyttää tässä yhteydessä tärkeät fysikaaliset ilmiöt. Jos molempia kelloja nopeutetaan yhtä paljon, niiden välinen vaihesuhde ei muutu, ja kokeiden tulokset ovat samat. Tämän lisäksi ei ole edes tarpeen muuttaa kummankin kellon nopeutta kiinteällä määrällä. Voimme muuttaa kummankin kellon viisarin kulmaa vaihtelevalla määrällä θ, jossa θ voi riippua sekä sijainnista avaruudessa että ajasta. Tällä ei olisi mitään vaikutusta kokeen tulokseen, koska lopullinen havainto elektronin sijainnista tapahtuu yhdessä paikassa ja samassa ajassa, joten kunkin elektronin ”kellon” vaihesiirtymä olisi sama, ja nämä kaksi vaikutusta kumoaisivat toisensa. Tämä on toinen esimerkki ulottumismuunnoksesta: se on paikallinen, eikä se muuta kokeiden tuloksia.
YhteenvetoEdit
Yhteenvetona voidaan todeta, että ulottumissymmetria saavuttaa täyden merkityksensä kvanttimekaniikan yhteydessä. Kvanttimekaniikan soveltamisessa sähkömagnetismiin eli kvanttisähködynamiikassa ulottumissymmetriaa sovelletaan sekä sähkömagneettisiin aaltoihin että elektroniaaltoihin. Nämä kaksi mittasymmetriaa ovat itse asiassa läheisessä yhteydessä toisiinsa. Jos esimerkiksi elektroniaaltoihin sovelletaan ulottumismuunnosta θ, on sovellettava vastaavaa muunnosta myös sähkömagneettisia aaltoja kuvaaviin potentiaaleihin. Mittasymmetriaa tarvitaan, jotta kvanttisähködynamiikasta tulisi renormalisoituva teoria, ts, jossa kaikkien fysikaalisesti mitattavien suureiden lasketut ennusteet ovat äärellisiä.
MittaussymmetriatyypitEdit
Kuvaus elektroneista edellä olevassa alaluvussa pieninä kelloina on itse asiassa lausunto matemaattisista säännöistä, joiden mukaan elektronien vaiheet lasketaan yhteen ja vähennetään: niitä kohdellaan tavallisina lukuina, paitsi että siinä tapauksessa, että laskennan tulos jää alueen 0≤θ<360° ulkopuolelle, pakotamme sen ”kiertymään” sallitulle alueelle, joka kattaa ympyrän. Toinen tapa ilmaista tämä on, että esimerkiksi 5°:n vaihekulman katsotaan vastaavan täysin 365°:n kulmaa. Kokeet ovat vahvistaneet tämän testattavan väitteen elektroniaaltojen muodostamista interferenssikuvioista. Lukuun ottamatta ”wrap-around”-ominaisuutta, tämän matemaattisen rakenteen algebralliset ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin tavallisilla reaaliluvuilla.
Matemaattisessa terminologiassa elektronien vaiheet muodostavat yhteenlaskun alaisena abeliaanisen ryhmän, jota kutsutaan ympyräryhmäksi tai U(1). ”Abeliaaninen” tarkoittaa, että yhteenlasku kommutoi, joten θ + φ = φ + θ. Ryhmä tarkoittaa, että yhteenlasku assosioituu ja että sillä on identtinen alkio, nimittäin ”0”. Lisäksi jokaiselle vaiheelle on olemassa käänteisluku siten, että vaiheen ja sen käänteisluvun summa on 0. Muita esimerkkejä abeliaanisista ryhmistä ovat kokonaisluvut yhteenlaskun, 0:n ja negaation alaisuudessa sekä nollasta poikkeavat murtoluvut tulon, 1:n ja käänteisluvun alaisuudessa.
Kieroutuneen sylinterin mittapuun kiinnittäminen.
Huomautetaan mittapuun valinnan havainnollistamiseksi, voiko sylinterin kieroutumisen havaita. Jos sylinterissä ei ole kuoppia, merkkejä tai naarmuja, emme voi sanoa sitä. Voisimme kuitenkin piirtää sylinteriä pitkin mielivaltaisen käyrän, jonka määrittelee jokin funktio θ(x), jossa x mittaa etäisyyttä sylinterin akselilla. Kun tämä mielivaltainen valinta (ulottuman valinta) on tehty, on mahdollista havaita se, jos joku myöhemmin vääntää sylinteriä.
Vuonna 1954 Chen Ning Yang ja Robert Mills ehdottivat näiden ajatusten yleistämistä ei-kommutatiivisiin ryhmiin. Ei-kommutatiivinen mittaryhmä voi kuvata kenttää, joka, toisin kuin sähkömagneettinen kenttä, vuorovaikuttaa itsensä kanssa. Esimerkiksi yleinen suhteellisuusteoria toteaa, että gravitaatiokentillä on energiaa, ja erityinen suhteellisuusteoria päättelee, että energia vastaa massaa. Näin ollen gravitaatiokenttä aiheuttaa toisen gravitaatiokentän. Myös ydinvoimilla on tämä itseään vuorovaikuttava ominaisuus.
MittabosonitEdit
Yllättäen mittasymmetria voi antaa syvemmän selityksen vuorovaikutusten, kuten sähkö- ja ydinvuorovaikutuksen, olemassaololle. Tämä johtuu eräänlaisesta ulottumissymmetriasta, joka liittyy siihen, että kaikki tietyn tyyppiset hiukkaset ovat kokeellisesti erottamattomia toisistaan. Kuvitellaan, että Alice ja Betty ovat identtiset kaksoset, jotka on syntyessään merkitty rannekkeilla, joissa lukee A ja B. Koska tytöt ovat identtisiä, kukaan ei pystyisi sanomaan, jos heidät olisi vaihdettu syntyessään; merkinnät A ja B ovat mielivaltaisia, ja ne voidaan vaihtaa keskenään. Tällainen heidän identiteettiensä pysyvä vaihtaminen on kuin maailmanlaajuinen mittasymmetria. On olemassa myös vastaava paikallinen mittasymmetria, joka kuvaa sitä, että Alice ja Betty voivat hetkestä toiseen vaihtaa roolejaan kenenkään katsomatta, eikä kukaan huomaisi sitä. Jos havaitsemme, että äidin lempimaljakko on hajonnut, voimme vain päätellä, että syyllinen on jompikumpi kaksosista, mutta emme voi sanoa, onko syyllinen 100-prosenttisesti Alice ja 0-prosenttisesti Betty vai päinvastoin. Jos Alice ja Betty ovat itse asiassa pikemminkin kvanttimekaanisia hiukkasia kuin ihmisiä, niillä on myös aalto-ominaisuuksia, mukaan lukien superpositio-ominaisuus, jonka avulla aaltoja voidaan lisätä, vähentää ja sekoittaa mielivaltaisesti. Tästä seuraa, että emme ole edes rajoittuneet täydellisiin identiteetin vaihdoksiin. Jos esimerkiksi havaitsemme, että tietyssä paikassa avaruudessa on tietty määrä energiaa, mikään koe ei voi kertoa meille, onko tuo energia 100 % A:ta ja 0 % B:tä, 0 % A:ta ja 100 % B:tä, 20 % A:ta ja 80 % B:tä vai jokin muu sekoitus. Se, että symmetria on paikallista, tarkoittaa, että emme voi edes luottaa siihen, että nämä suhteet pysyvät muuttumattomina hiukkasten edetessä avaruudessa. Yksityiskohdat siitä, miten tämä esitetään matemaattisesti, riippuvat hiukkasten spineihin liittyvistä teknisistä kysymyksistä, mutta tässä tarkoituksessa tarkastelemme spinitöntä hiukkasta, jonka osalta käy ilmi, että sekoittuminen voidaan määritellä jollakin mielivaltaisella valinnalla θ(x), jossa kulma θ = 0° edustaa 100 %:a A:ta ja 0 %:a B:tä, θ = 90° tarkoittaa 0 %:aa A:ta ja 100 %:a B:tä, ja väliin jääviä kulmia edustavat sekoitukset.
Kvanttimekaniikan periaatteiden mukaan hiukkasilla ei todellisuudessa ole liikeratoja avaruuden läpi. Liike voidaan kuvata vain aaltojen avulla, ja yksittäisen hiukkasen impulssi p liittyy sen aallonpituuteen λ kaavalla p = h/λ. Empiiristen mittausten kannalta aallonpituus voidaan määrittää vain havainnoimalla aallon muutosta yhden avaruuden pisteen ja toisen läheisen pisteen välillä (matemaattisesti, differentioimalla). Aalto, jonka aallonpituus on lyhyempi, värähtelee nopeammin ja muuttuu siksi nopeammin läheisten pisteiden välillä. Oletetaan nyt, että kiinnitämme mittarin mielivaltaisesti yhteen pisteeseen avaruudessa sanomalla, että energia kyseisessä pisteessä on 20 % A:n ja 80 % B:n energiaa. Mittaamme sitten nämä kaksi aaltoa jossakin toisessa, lähellä sijaitsevassa pisteessä määrittääksemme niiden aallonpituudet. On kuitenkin kaksi täysin erilaista syytä siihen, että aallot ovat voineet muuttua. Ne ovat voineet muuttua, koska ne värähtelivät tietyllä aallonpituudella, tai ne ovat voineet muuttua, koska mittausfunktio muuttui 20-80 seoksesta esimerkiksi 21-79 seokseen. Jos jätämme toisen mahdollisuuden huomiotta, tuloksena oleva teoria ei toimi; kummalliset poikkeamat impulssissa tulevat esiin, mikä rikkoo impulssin säilymisperiaatetta. Jotain teoriassa on muutettava.
Jälleen kerran spiniin liittyy teknisiä kysymyksiä, mutta useissa tärkeissä tapauksissa, kuten sähköisesti varautuneissa hiukkasissa ja ydinvoimien välityksellä vuorovaikutuksessa olevissa hiukkasissa, ongelman ratkaisu on fysikaalisen todellisuuden antaminen ulottumafunktiolle θ(x). Sanomme, että jos funktio θ värähtelee, se edustaa uudenlaista kvanttimekaanista aaltoa, ja tällä uudella aallolla on oma impulssinsa p = h/λ, mikä osoittautuu paikkaavaksi ristiriidat, jotka muuten olisivat rikkoneet impulssin säilymisen. Sähkömagnetismin yhteydessä hiukkaset A ja B olisivat varattuja hiukkasia, kuten elektroneja, ja θ:n edustama kvanttimekaaninen aalto olisi sähkömagneettinen kenttä. (Tässä yhteydessä jätetään huomiotta tekniset kysymykset, jotka johtuvat siitä, että elektroneilla on itse asiassa spin 1/2, ei spin nolla. Tämä liiallinen yksinkertaistaminen on syy siihen, että mittakenttä θ on skalaari, kun taas sähkömagneettista kenttää edustaa itse asiassa vektori, joka koostuu V:stä ja A:sta). Tuloksena on, että meillä on selitys sähkömagneettisen vuorovaikutuksen olemassaololle: jos yritämme rakentaa mittasymmetrisen teorian identtisistä, ei-vuorovaikutteisista hiukkasista, tulos ei ole itsekonsistentti, ja se voidaan korjata vain lisäämällä sähkö- ja magneettikenttiä, jotka aiheuttavat hiukkasten vuorovaikutuksen.
Vaikka funktio θ(x) kuvaa aaltoa, kvanttimekaniikan lait edellyttävät, että sillä on myös hiukkasominaisuuksia. Sähkömagnetismin tapauksessa sähkömagneettisia aaltoja vastaava hiukkanen on fotoni. Yleisesti ottaen tällaisia hiukkasia kutsutaan mittabosoneiksi, jolloin termi ”bosoni” viittaa hiukkaseen, jolla on kokonaislukuinen spin. Teorian yksinkertaisimmissa versioissa ulottumabosonit ovat massattomia, mutta on mahdollista rakentaa myös versioita, joissa niillä on massaa, kuten ydinhajoamisvoimia välittävien ulottumabosonien tapauksessa.