Tämä on lyhyt johdatus Galois-teoriaan. Tämän artikkelin taso on välttämättä melko korkea verrattuna joihinkin NRICH-artikkeleihin, koska Galois’n teoria on hyvin vaikea aihe, johon perehdytään yleensä vasta matematiikan perustutkinnon viimeisenä vuonna. Tässä artikkelissa Galois’n teoriaa käsitellään vain pintapuolisesti, ja sen pitäisi luultavasti sopia 17- tai 18-vuotiaalle koululaiselle, joka on vahvasti kiinnostunut matematiikasta. Jäljempänä olevassa johdannossa on lyhyt ja hyvin epämääräinen katsaus kahteen tärkeään Galois-teorian sovellukseen. Jos haluat tietää enemmän Galois’n teoriasta, artikkelin loppuosa on syvällisempi, mutta myös vaikeampi.
Kaksi tärkeintä asiaa, jotka on hyvä tietää, jotta ymmärtää artikkelin syvällisempää osaa, ovat kompleksiluvut ja ryhmäteoria. Jos et ole aiemmin törmännyt kompleksilukuihin, voit lukea An Introduction to Complex Numbers , jonka pitäisi olla 15-16-vuotiaiden oppilaiden saatavilla. Jos et ole aiemmin törmännyt ryhmäteoriaan, älä huoli. Esittelen ryhmän idean alla, vaikka voikin olla parempi yrittää löytää kirja tai nettisivu, jossa mennään yksityiskohtaisemmin asiaan.
1.1 Motivaatio
Galois-teoria on hyvin suuri aihe, ja ennen kuin olet melko syventynyt matemaattisiin opintoihin tavalla, joka on epätavallista, ellet opiskele matemaattista tutkintoa, se voi tuntua melko turhalta. On kuitenkin kaksi ongelmaa, jotka tarjoavat jonkinlaisen motivaation Galois-teorian opiskeluun – sellaisten polynomien olemassaolo, jotka eivät ole ratkaistavissa radikaaleilla, ja eräät klassista euklidista geometriaa koskevat tulokset,esimerkiksi se, että kulmaa ei voi kolmioida viivottimella ja kompassilla, ja että tiettyjä säännöllisiä monikulmioita ei voi rakentaa viivottimella ja kompassilla.
Määritelmä Kun voimme löytää rationaalikertoimisen polynomin ratkaisut käyttämällä vain rationaalilukuja ja operaatioita yhteenlasku, vähennyslasku, jako, kertolasku ja n:nnen juuren löytäminen, sanomme, että $p(x)$ on radikaaleilla ratkaistava.
1.2 Historia
Miksi siis Galois-teoriaa kutsutaan Galois-teoriaksi? Vastaus on, että se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Evariste Galois’n (1811-1832) mukaan, joka teki erittäin tärkeää työtä tällä alalla. Hänen elämänsä oli hyvin dramaattinen ja vaikea, sillä hän ei saanut suurta osaa työstään tunnustetuksi, koska hänellä oli suuria vaikeuksia ilmaista itseään selkeästi. Häntä ei esimerkiksi hyväksytty Pariisin johtavaan yliopistoon, Ecole Polytechniqueen, vaan hänen oli tyydyttävä Ecole Normaleen. Hän kohtasi vaikeuksia myös poliittisten sympatioidensa vuoksi, hän oli tasavaltalainen. Tämä johti siihen, että hänet erotettiin Ecole Normale -yliopistosta, kun hän kirjoitti sanomalehteen kirjeen, jossa hän arvosteli koulun johtajaa. Hän liittyi tasavaltalaiseen miliisiosastoon ja joutui myöhemmin (kahdesti) vankilaan jäsenyytensä vuoksi. Toisen kerran vankilassa ollessaan hän rakastui vankilan lääkärin tyttäreen Stephanie-Felice du Moteliin, ja vapautumisensa jälkeen hän kuoli kaksintaistelussa Perscheux d’Herbinvillen kanssa. Kaksintaistelun syyt eivät ole täysin selvillä, mutta on todennäköistä, että sillä oli jotain tekemistä Stephanien kanssa. Hänen kuolemansa käynnisti tasavaltalaismellakoita ja mielenosoituksia, jotka kestivät useita päiviä.
Vaikka Galois’n katsotaan usein keksineen ryhmäteorian ja Galois’n teorian, näyttää siltä, että italialainen matemaatikko Paolo Ruffini (1765-1822) on saattanut keksiä monet ideat ensin. Valitettavasti muu matemaattinen yhteisö ei tuolloin ottanut hänen ajatuksiaan vakavasti. Tämän dokumentin lopussa on joitakin linkkejä niille, jotka ovat kiinnostuneita saamaan lisää tietoa ryhmäteorian ja Galois’n teorian historiasta.
1.3 Yleiskatsaus
Tapa, jolla yllä oleva tulos radikaalien liukenemattomuudesta todistetaan (Galois’n teoriaa käyttäen), on todistaa tulos polynomin juurten symmetrioiden kokoelmasta, kunhan juuret rakennetaan käyttäen vain yllä olevia erityisoperaatioita. (Osoittautuu, että symmetrioiden kokoelman on muodostettava niin sanottu liukeneva ryhmä. Tästä lisää lähellä tämän artikkelin loppua.)) Sittenlöydät polynomin, jonka juurten symmetrioilla ei ole tätä erikoisominaisuutta, joten tiedät, että juuria ei voitu muodostaa erikoisoperaatioiden avulla.
Tämän artikkelin loppuosan aiheena on täsmentää, mitä tarkoitamme juurten symmetrialla ja näiden symmetrioiden kokoelman rakenteesta.
1.4 Merkintätavat
1.5 Neuvoja tämän artikkelin lukemiseen
Tämän artikkelin loppuosa on melko vaikea. Suuri määrä uusia ideoita esitellään ja käytetään yhä uudelleen ja uudelleen, ja tuntemattomia sanoja on paljon. Artikkelin loppuun mennessä käytän lauseita kuten $Q$ on $Q$:n radikaali kenttälaajennus, koska se voidaan rakentaa käyttämällä jokaisessa vaiheessa vain syklotomisia kenttälaajennuksia. Älä lannistu liikaa tästä näennäisesti vieraasta kielestä, jokainen sana selitetään sitä mukaa, kun se esitellään. Paras lukustrategia on edetä hitaasti ja varmistaa, että ymmärrät tarkalleen, mitä kukin sana tarkoittaa, ennen kuin siirryt seuraavaan jaksoon, koska kyseistä sanaa käytetään yhä uudelleen ja uudelleen, ja jos et oikein ymmärrä sitä, kaikki muuttuu lukiessasi yhä sekavammaksi ja sekavammaksi. Jos kuitenkin luet tätä verkossa, voit yksinkertaisesti napsauttaa mitä tahansa alleviivattua sanaa, jolloin alkuperäinen määritelmä avautuu pieneen ikkunaan.
2 Ryhmät ja kentät
Tässä vaiheessa voit ehkä tarkistaa, että olet seurannut tähän asti. Katso, voitko todistaa, että $S_n$ on ryhmä ja että sillä on $n!$ alkioita. Jos olet tyytyväinen joukkojen ja funktioiden ideaan, voit todistaa, että $S_X$ on ryhmä, vaikka $X$ olisi ääretön joukko.
2.2 Kentät
2.3 Kenttälaajennukset
Määritelmä (Kenttälaajennus):
Kenttälaajennuksen $F$ kenttälaajennus (Field Extension):
Kentän $F$ kenttälaajennus (Field Extension) on $F$:n sisältävä $K$ kenttä $K$ (kirjoitamme kenttälaajennuksen muotoon $F \subsseq K$ tai $K / F$). Esimerkiksi reaaliluvut ovat rationaalilukujen kenttälaajennus, koska reaaliluvut ovat kenttä ja jokainen rationaaliluku on myös reaaliluku.
2.4 Jakokentät
Tässä alkaa Galois’n teorian osuus.
Muutama esimerkki on, että halkaisukenttä luvulle $p(x)=x^4-5x^2+6$ on $Q$. Ymmärrätkö miksi?
3 Automorfismit ja Galois-ryhmät
Voit tarkistaa, että yllä oleva funktio $f$ todella täyttää kaikki ehdot.
Kenttäautomorfismin ideana on se, että se on vain tapa nimetä kentän alkiot uudelleen kentän rakennetta lainkaan muuttamatta. Toisin sanoen voimme korvata symbolin $\sqrt{2}$ symbolilla $-\sqrt{2}$, tehdä kaikki laskutoimituksemme ja vaihtaa sitten symbolin $-\sqrt{2}$ takaisin $\sqrt{2}$:ksi ja saamme oikean vastauksen. Kenttäautomorfismit ovat oikea tapa ilmaista tämä ajatus,koska ehdot, että $f(x+y)=f(x)+f(y)$ säilyttävät kertolaskun, yhteenlaskun ja niin edelleen.
3.2 Galois’n ryhmä
4 Ratkaisukyky radikaaleilla
Muutenkaan syvemmälle Galois’n teoriaan meneminen olisi valitettavasti liian monimutkaista. Hahmotan loput todisteesta sellaisten polynomien olemassaolosta, jotka eivät ole radikaalien avulla liukenevia.
5 Kulmien kolmioiminen
Kuten edellä mainitsin, Galois-teorian avulla voidaan osoittaa, että on mahdotonta kolmioida kaikkia kulmia viivottimen ja kompassin menetelmin. Hahmottelen todisteen siitä, että viivottimella ja kompassilla ei voi konstruoida kulmaa, jonka suuruus on $20^{\circ}$ (ja siten ei voi kolmioida kulmaa, jonka suuruus on $60^{\circ}$).
Ei ole itsestään selvää, että minkä tahansa konstruoitavan luvun täytyy sijaita tämänmuotoisessa kenttälaajennuksessa, mutta voimme tavallaan nähdä miksi, koska annettujen viivasegmenttien, joiden pituudet ovat $x$, $y$, avulla on mahdollista konstruoida geometristen konstruktioiden avulla muita viivasegmenttejä, joiden pituudet ovat $x+y$, $x y$ ja $1/x$. Lisäksi voidaan rakentaa viivapätkä, jonka pituus on $\sqrt{x}$, käyttämällä pelkästään geometrisia konstruktioita. Itse asiassa voit myösnäyttää, että nämä ovat ainoat asiat, joita voit tehdä geometristen konstruktioiden avulla. (Jos haluat kokeilla, voit todistaa tämän käyttämällä sitä, että merkitsemättömillä viivoittimilla ja kompassilla voi tehdä vain kahden suoran leikkauspisteen, jolloin saa vain aritmeettisia operaatioita, suoran ja ympyrän leikkauspisteen, jolloin saa neliöjuuria, sekä ympyrän ja ympyrän leikkauspisteen, jolloin saa neliöjuuria). Ymmärrätkö, miksi tämä tarkoittaa, että konstruoitavissa olevaan kenttälaajennukseen (kuten edellä on määritelty) kuuluva luku voidaan konstruoida vain merkitsemättömällä viivoittimella ja kompassilla ja että vain konstruoitavissa oleviin kenttälaajennuksiin kuuluvia lukuja voidaan tehdä tällä tavalla?
Seuraavaksi osoitat, että jos sinulla on kuutiollinen polynomi $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$, jonka juuret eivät ole rationaalilukuja, niin silloinhan juuret eivät ole konstruoitavia? Tämä ei ole kovin vaikea todistaa, mutta vaatii jonkin verran tietämystä, joka ylittää sen, mitä oletan tämän artikkelin osalta.
Tässä on nokkela osa. Oletetaan, että voit konstruoida kulman $20^{\circ}$, jolloin luku $\cos(20^{\circ})$ olisi konstruoitavissa (voit vain pudottaa kohtisuoran suoran pisteestä $20^{\circ}$ vaakatasoon, etäisyydellä $1$ origosta). Voit kuitenkin osoittaa, että $\alpha=\cos(20^{\circ})$ on yhtälön $8x^3-6x-1=0$ juuri (laajentamalla $\cos(60^{\circ})$ yhtälön $\cos(20^{\circ})$ avulla yhteenlaskun kaavalla). On helppo osoittaa, että tällä ei ole rationaalisia juuria, joten juuret eivät ole konstruoitavissa. Tämä tarkoittaa, että emme olisi voineet konstruoida $20^{\circ}$-kulmaa, koska silloin voisimme konstruoida $\cos(20^{\circ})$, mikä on mahdotonta. Joten $60^{\circ}$-kulma ei voi olla kolmiosainen.
Voit käyttää tämän kaltaisia menetelmiä todistaaksesi muita tuloksia siitä, mitä muotoja voi tai ei voi konstruoida ja niin edelleen.
6 Lisälukemista