Indikaattorifunktiot

Written by on in Articles

by Marco Taboga, PhD

Tapahtuman indikaattorifunktio on satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, kun tapahtuma tapahtuu, ja arvon 0, kun tapahtumaa ei tapahdu. Indikaattorifunktioita käytetään usein todennäköisyysteoriassa notaation yksinkertaistamiseksi ja teoreemojen todistamiseksi.

Sisällysluettelo

Määritelmä

Seuraavassa on muodollinen määritelmä.

Määritelmä Olkoon Omega otosavaruus ja $Esubseteq Omega $ tapahtuma. Tapahtuman E indikaattorifunktio (tai indikaattorin satunnaismuuttuja), jota merkitään $1_{E}$, on satunnaismuuttuja, joka määritellään seuraavasti:

Vaikka tapahtuman E indikaattoria merkitään yleensä $1_{E}$:llä, joskus sitä merkitään myös :llä, jossa $chi $ on kreikkalainen kirjain Chi.

Esimerkki Heitetään noppaa ja yksi kuudesta numerosta 1-6 voi ilmestyä kuvapuoli ylöspäin. Näyteavaruus on Määritellään tapahtuma , jota kuvaa lause ”Parillinen luku ilmestyy kuvapuoli ylöspäin”. Satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, kun parillinen luku ilmestyy kuvapuoli ylöspäin, ja muuten arvon 0, on tapahtuman E indikaattori. Tämän indikaattorin tapauskohtainen määritelmä on

Yllä olevasta määritelmästä voidaan helposti nähdä, että $1_{E}$ on diskreetti satunnaismuuttuja, jolla on tuki ja todennäköisyysmassafunktio

ominaisuudet

Indikaattorifunktiot nauttivat seuraavia ominaisuuksia.

Tehot

$1_{E}$:n n:nnen potenssin $1_{E}$ arvo on $1_{E}$: koska $1_{E}$ voi olla joko 0 tai 1 ja

Odotusarvo

Odotusarvo $1_{E}$ on :

Varianssi

Varianssi $1_{E}$ on . Tavanomaisen varianssin kaavan ja yllä olevan potenssiominaisuuden ansiosta saadaan

Ristiriidat

Jos E ja F ovat kaksi tapahtumaa, niinkoska:

  1. jos $omega in Ecap F$, niin ja

  2. jos , niinja

Nollatodennäköisyystapahtumien indikaattorit

Olkoon E nollatodennäköisyystapahtuma ja X integroitava satunnaismuuttuja. Silloin,Vaikka tämän tosiasian tiukka todistaminen ei kuulu tähän johdantoesitykseen, tämän ominaisuuden pitäisi olla intuitiivinen. Satunnaismuuttuja on nolla kaikissa otospisteissä omega paitsi mahdollisesti pisteissä $omega E$. Odotusarvo on painotettu keskiarvo niistä arvoista, joita $X1_{E}$ voi saada, missä jokainen arvo on painotettu sille kuuluvalla todennäköisyydellä. Nollasta poikkeavat arvot, joita $X1_{E}$ voi ottaa, painotetaan nollatodennäköisyyksillä, joten :n täytyy olla nolla.

Ratkaistuja harjoituksia

Alla on muutamia harjoituksia selitettyine ratkaisuineen.

Harjoitus 1

Tarkastellaan satunnaismuuttujaa X ja toista satunnaismuuttujaa Y, joka on määritelty X funktiona.

Ilmaise Y käyttämällä tapahtumien ja indikaattorifunktioita.

Ratkaisu

Kirjoita :lla tapahtuman indikaattori ja kirjoita :llä tapahtuman indikaattori. Voimme kirjoittaa Y seuraavasti:

Harjoitus 2

Olkoon X positiivinen satunnaismuuttuja eli satunnaismuuttuja, joka voi saada vain positiivisia arvoja. Olkoon $c$ vakio. Osoita, että missä on tapahtuman indikaattori.

Ratkaisu

Huomaa ensin, että tunnuslukujen ja summa on aina yhtä suuri kuin 1:Sen seurauksena voimme kirjoittaaHuomaa nyt, että on positiivinen satunnaismuuttuja ja että positiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo on positiivinen:Siten,

Harjoitus 3

Olkoon E tapahtuma ja merkitään sen indikaattorifunktiota $1_{E}$. Olkoon $E^{c}$ E:n komplementti ja merkitään sen indikaattorifunktiota $1_{E^{c}}$. Voitko ilmaista $1_{E^{c}}$ funktiona $1_{E}$?

Ratkaisu

Kahden tunnusluvun summa on aina yhtä suuri kuin 1:Therefore,

How to cite

Please cite as:

Taboga, Marco (2017). ”Indikaattorifunktiot”, Luentoja todennäköisyysteoriasta ja matemaattisesta tilastotieteestä, kolmas painos. Kindle Direct Publishing. Verkkoliite. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.