by Marco Taboga, PhD
Tapahtuman indikaattorifunktio on satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, kun tapahtuma tapahtuu, ja arvon 0, kun tapahtumaa ei tapahdu. Indikaattorifunktioita käytetään usein todennäköisyysteoriassa notaation yksinkertaistamiseksi ja teoreemojen todistamiseksi.
Määritelmä
Seuraavassa on muodollinen määritelmä.
Määritelmä Olkoon otosavaruus ja
tapahtuma. Tapahtuman
indikaattorifunktio (tai indikaattorin satunnaismuuttuja), jota merkitään
, on satunnaismuuttuja, joka määritellään seuraavasti:
Vaikka tapahtuman indikaattoria merkitään yleensä
:llä, joskus sitä merkitään myös
:llä, jossa
on kreikkalainen kirjain Chi.
Esimerkki Heitetään noppaa ja yksi kuudesta numerosta 1-6 voi ilmestyä kuvapuoli ylöspäin. Näyteavaruus on Määritellään tapahtuma
, jota kuvaa lause ”Parillinen luku ilmestyy kuvapuoli ylöspäin”. Satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, kun parillinen luku ilmestyy kuvapuoli ylöspäin, ja muuten arvon 0, on tapahtuman
indikaattori. Tämän indikaattorin tapauskohtainen määritelmä on
Yllä olevasta määritelmästä voidaan helposti nähdä, että on diskreetti satunnaismuuttuja, jolla on tuki
ja todennäköisyysmassafunktio
ominaisuudet
Indikaattorifunktiot nauttivat seuraavia ominaisuuksia.
Tehot
:n
:nnen potenssin
arvo on
:
koska
voi olla joko
tai
ja
Odotusarvo
Odotusarvo on
:
Varianssi
Varianssi on
. Tavanomaisen varianssin kaavan ja yllä olevan potenssiominaisuuden ansiosta saadaan
Ristiriidat
Jos ja
ovat kaksi tapahtumaa, niin
koska:
-
jos
, niin
ja
-
jos
, niin
ja
Nollatodennäköisyystapahtumien indikaattorit
Olkoon nollatodennäköisyystapahtuma ja
integroitava satunnaismuuttuja. Silloin,
Vaikka tämän tosiasian tiukka todistaminen ei kuulu tähän johdantoesitykseen, tämän ominaisuuden pitäisi olla intuitiivinen. Satunnaismuuttuja
on nolla kaikissa otospisteissä
paitsi mahdollisesti pisteissä
. Odotusarvo on painotettu keskiarvo niistä arvoista, joita
voi saada, missä jokainen arvo on painotettu sille kuuluvalla todennäköisyydellä. Nollasta poikkeavat arvot, joita
voi ottaa, painotetaan nollatodennäköisyyksillä, joten
:n täytyy olla nolla.
Ratkaistuja harjoituksia
Alla on muutamia harjoituksia selitettyine ratkaisuineen.
Harjoitus 1
Tarkastellaan satunnaismuuttujaa ja toista satunnaismuuttujaa
, joka on määritelty
funktiona.
Ilmaise käyttämällä tapahtumien
ja
indikaattorifunktioita.
Kirjoita :lla tapahtuman
indikaattori ja kirjoita
:llä tapahtuman
indikaattori. Voimme kirjoittaa
seuraavasti:
Harjoitus 2
Olkoon positiivinen satunnaismuuttuja eli satunnaismuuttuja, joka voi saada vain positiivisia arvoja. Olkoon
vakio. Osoita, että
missä
on tapahtuman
indikaattori.
Huomaa ensin, että tunnuslukujen ja
summa on aina yhtä suuri kuin
:
Sen seurauksena voimme kirjoittaa
Huomaa nyt, että
on positiivinen satunnaismuuttuja ja että positiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo on positiivinen:
Siten,
Harjoitus 3
Olkoon tapahtuma ja merkitään sen indikaattorifunktiota
. Olkoon
:n komplementti ja merkitään sen indikaattorifunktiota
. Voitko ilmaista
funktiona
?
Kahden tunnusluvun summa on aina yhtä suuri kuin :
Therefore,
How to cite
Please cite as:
Taboga, Marco (2017). ”Indikaattorifunktiot”, Luentoja todennäköisyysteoriasta ja matemaattisesta tilastotieteestä, kolmas painos. Kindle Direct Publishing. Verkkoliite. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.