Homotopia, matematiikassa tapa luokitella geometrisia alueita tutkimalla erityyppisiä polkuja, joita alueelle voidaan piirtää. Kahta polkua, joilla on yhteiset päätepisteet, sanotaan homotooppiseksi, jos toinen polku voidaan jatkuvasti deformoida toiseen polkuun siten, että päätepisteet pysyvät paikoillaan ja se pysyy määritellyn alueensa sisällä. Kuvan osassa A tummennetulla alueella on reikä; f ja g ovat homotooppisia polkuja, mutta g′ ei ole homotooppinen f:n tai g:n kanssa, koska g′:tä ei voi muuttaa f:ksi tai g:ksi kulkematta reiän läpi ja poistumatta alueelta.

Muodollisemmin homotopia käsittää polun määrittelyn siten, että intervallin 0-1 pisteitä kuvataan alueen pisteisiin jatkuvalla tavalla – toisin sanoen siten, että intervallin vierekkäiset pisteet vastaavat polun vierekkäisiä pisteitä. Homotopiakartta h(x, t) on jatkuva kartta, joka liittää kahteen sopivaan polkuun, f(x) ja g(x), kahden muuttujan x ja t funktion, joka on yhtä suuri kuin f(x), kun t = 0, ja yhtä suuri kuin g(x), kun t = 1. Kartta vastaa intuitiivista ajatusta asteittaisesta muodonmuutoksesta poistumatta alueelta, kun t muuttuu arvosta 0 arvoon 1. Esimerkiksi h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) on homotooppinen funktio kuvan osassa A oleville poluille f ja g. Pisteet f(x) ja g(x) yhdistetään suoralla pätkällä, ja jokaiselle kiinteälle t:n arvolle h(x, t) määrittelee polun, joka yhdistää samat kaksi päätepistettä.

Erityisen kiinnostavia ovat homotooppiset polut, jotka alkavat ja päättyvät yhteen pisteeseen (ks. kuvan osa B). Kaikkien tällaisten toisiinsa homotooppisten polkujen luokkaa tietyllä geometrisella alueella kutsutaan homotopialuokaksi. Kaikkien tällaisten luokkien joukolle voidaan antaa algebrallinen rakenne, jota kutsutaan ryhmäksi, alueen perusryhmäksi, jonka rakenne vaihtelee alueen tyypin mukaan. Alueella, jossa ei ole reikiä, kaikki suljetut polut ovat homotooppisia ja perusryhmä koostuu yhdestä alkioista. Alueella, jossa on yksi reikä, kaikki polut, jotka kiertävät reiän yhtä monta kertaa, ovat homotopisia. Kuvassa polut a ja b ovat homotooppisia, samoin polut c ja d, mutta polku e ei ole homotooppinen minkään muun polun kanssa.

Määritellään samalla tavalla homotooppiset polut ja alueiden perusryhmä kolmessa tai useammassa ulottuvuudessa sekä yleisillä moninaisuuksilla. Suuremmissa ulottuvuuksissa voidaan määritellä myös korkeampiulotteisia homotopiaryhmiä.