Differentiaaliyhtälöiden reuna-arvo-ongelmien ratkaisujen integraaliesityksiin liittyvä funktio.
Lineaarisen differentiaaliyhtälön reuna-arvo-ongelman Greenin funktio on tämän yhtälön perusratkaisu, joka täyttää homogeeniset reunaehdot. Greenin funktio on kyseisen differentiaaliyhtälön ja homogeenisten reunaehtojen synnyttämän differentiaalioperaattorin käänteisen integraalioperaattorin ydin (vrt. Kernel of an integral operator). Greenin funktion avulla saadaan inhomogeenisen yhtälön ratkaisut, jotka täyttävät homogeeniset reunaehdot. Greenin funktion löytäminen pelkistää differentiaalioperaattorin ominaisuuksien tutkimisen vastaavan integraalioperaattorin vastaavien ominaisuuksien tutkimiseksi.
Greenin funktio tavallisille differentiaaliyhtälöille.
Asettakaamme, että $ L $on differentiaalipolynomin synnyttämä differentiaalioperaattori
$$$ l = \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ \ a < x < b,$$
ja reunaehdot $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \pisteet n $, missä
$$ U _ {j} = \ \ \summa _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
L $ L $:n Green-funktio on funktio $ G ( x, \xi ) $, joka täyttää seuraavat ehdot:
1) $ G ( x, \xi ) $ on jatkuva ja sillä on jatkuvat derivaatat $ x $:n suhteen $ n – 2 $:n järjestykseen asti $ x $:n $ ja $ \xi $:n $:n kaikilla arvoilla väleillä $ $ $.
2) Mille tahansa $ \xi $in $ ( a, b) $välillä $ funktiolla $ G ( x, \xi ) $on tasaisesti jatkuvat derivaatat kertaluvun $ n $ suhteen $ x $ kullakin puolivälillä $ $ ja kertaluvun $ n – 1 $derivaatta täyttää ehdon
$$$ \frac{\partial ^ {n – 1 } { \partial x ^ {n – 1 { \partial x ^ {n – 1 }{ \partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$
jos $ x = \xi $.
3) Jokaisessa puolivälissä $ $ $funktio $ G ( x, \xi ) $, tarkasteltuna $ x $:n funktiona, täyttää yhtälön $ l = 0 $ja reunaehdot $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $.
Jos reunaehto-ongelmalla $ Ly = 0 $ on vain triviaaleja ratkaisuja, niin $ L $:llä on yksi ja vain yksi Greenin funktio . Mille tahansa jatkuvalle funktiolle $ f $on $ on olemassa raja-arvo-ongelman $ Ly = f $ ratkaisu, ja se voidaan ilmaista kaavalla
$$$ y ( x) = \ \ \int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
Jos operaattorilla $ L $ on Green-funktio $ G ( x, \xi ) $, niin adjunktio-operaattori $ L ^ {*} $ on myös Green-funktio, joka on yhtä suuri kuin $ \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $. Erityisesti, jos $ L $ on itseadjunktio ( $ L = L ^ {*} $), niin $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $, eli Green-funktio on tässä tapauksessa Hermitin ydin. Näin ollen itseadjungoidun toisen kertaluvun operaattorin $ L $ Greenin funktio, jonka tuottaa differentiaalioperaattori, jolla on reaaliset kertoimet
$ $ l = \ \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }{dx }\right ) +q ( x) y,\ \ a < x < b,$$
ja reunaehdot $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $on muotoa:
$$ G ( x, \xi ) = \ \left \{\begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\\end{array} \right .$$
Tässä $ $ y _ {1} ( x) $ja $ y _ {2} ( x) $ ovat yhtälön $ l = 0 $ mielivaltaisia riippumattomia ratkaisuja, jotka täyttävät vastaavasti ehdot $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, missä $ W $on $ y _ {1} $:n ja $ y _ {2} $:n Wronskin determinantti (Wronskilainen). Voidaan osoittaa, että $ C $on riippumaton $ \xi $:sta.
Jos operaattorilla $ L $on Greenin funktio, niin reunaominaisarvo-ominaisarvo-ongelma $ Ly = \lambda y $on ekvivalenttinen integraaliyhtälölle $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, johon sovelletaan Fredholmin teoriaa (vrt. myös Fredholmin lauseet). Tästä syystä raja-arvo-ongelmalla $ Ly = \lambda y $ voi olla enintään laskettavissa oleva määrä ominaisarvoja $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \pisteitä $ ilman äärellisiä raja-arvopisteitä. Konjugoituneella ongelmalla on kompleksikonjugoituneet ominaisarvot, joilla on sama kertaluku. Jokaiselle $ \lambda $:lle, joka ei ole $ L $:n ominaisarvo, voidaan konstruoida operaattorin $ L – \lambda I $ Green-funktio $ G ( x, \xi , \lambda ) $, jossa $ I $ on identtinen operaattori. Funktio $ G ( x, \xi , \lambda ) $ on parametrin $ \lambda $ meromorfinen funktio; sen navat voivat olla vain $ L $:n ominaisarvoja. Jos ominaisarvon $ \lambda _ {0} $ moninaisuus on yksi, niin
$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \ \ \frac{u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( \xi ) }}\; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
jossa $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $ on säännöllinen pisteen $ \lambda _ {0} $ lähiympäristössä, ja $ u _ {0} ( x) $ ja $ v _ {0} ( x) $ ovat pisteen $ L $ ja $ L ^ {*} ominaistoimintoja. $, jotka vastaavat ominaisarvoja $ \lambda _ {0} $ ja $ \overline{ {\lambda _ {0} }}\\; $ja normalisoitu siten, että
$$ \int\limits _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}\\; dx = 1.$$$
Jos $ G ( x, \xi , \lambda ) $:lla on äärettömän monta napaa ja jos nämä ovat vain ensimmäisen kertaluvun napoja, niin on olemassa täydellinen biorthogonaalinen systeemi
$$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\pisteet ; \ \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$
ominaistoimintojen $ L $ ja $ L ^ {*} $. Jos ominaisarvot numeroidaan niiden absoluuttisten arvojen mukaan kasvavassa järjestyksessä, niin integraali
$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \ \frac{1}{2 \pi i \int\limits _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$
on yhtä suuri kuin osasumma
$$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}}\; \ d \xi$$
laajenemisesta $ f $ suhteessa $ L $:n ominaistoimintoihin. Positiivinen luku $ R $ valitaan siten, että funktio $ G ( x, \xi , \lambda ) $ on säännöllinen $ \lambda $:ssa ympyrällä $ | \lambda | = R $. Säännölliselle reuna-arvo-ongelmalle ja mille tahansa kappalemääräisesti sileälle funktiolle $ f $ välissä $ a < x < b $ pätee yhtälö
$$ $ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\frac{1}{2} } $$
on kelvollinen, eli laajeneminen konvergentiksi sarjaksi on mahdollista .
Jos operaattorin $ L – \lambda I $ Green-funktiolla $ G ( x, \xi , \lambda ) $on useita napoja, sen pääosa ilmaistaan operaattoreiden $ L $ja $ L ^ {*} ominaisten funktioiden $ L ja $ L ^ {*} ominaisten funktioiden $ G ( x, \xi , \lambda ) $on kaanonisilla ominaisten funktioiden $ G ( x, \xi , \lambda ) $järjestelmien kanonisilla järjestelmillä. $.
Edellä tarkastellussa tapauksessa raja-arvo-ongelmalla $ Ly = 0 $ ei ole ei-triviaaleja ratkaisuja. Jos taas tällaisia ei-triviaaleja ratkaisuja on olemassa, otetaan käyttöön ns. yleistetty Greenin funktio. Olkoon olemassa esimerkiksi täsmälleen $ m $lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja ongelmaan $ Ly = 0 $. Tällöin yleistetty Greenin funktio $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $ on olemassa, jolla on tavallisen Green-funktion ominaisuudet 1) ja 2), joka täyttää reunaehdot $ x $:n funktiona, jos $ a < \xi < b $ ja joka lisäksi on yhtälön
$$$ ratkaisu
$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ v _ {k} ( \xi ) }}}\; .$$
Tässä $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ on adjunktio-ongelman $ L ^ {*} y = 0 $ lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmä, kun taas $ \{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ on mielivaltainen jatkuvien funktioiden järjestelmä, joka on biorthogonaalinen sille. Tällöin
$$ y ( x) = \ \ \int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$
on raja-arvo-ongelman $ Ly = f $ratkaisu, jos funktio $ f $on jatkuva ja täyttää ratkaistavuuden kriteerin eli on ortogonaalinen kaikille $ v _ {k} $.
Jos $ \widetilde{G} _ {0} $ on yksi $ L $:n yleistetyistä Green-funktioista, niin mikä tahansa muu yleistetty Green-funktio voidaan esittää muodossa
$$ $ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \ \ \widetilde{G} _ {{0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1} +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} \psi _ {k} ( \xi ),$$
jossa $ \{ u _ {k} ( x) \} $on täydellinen lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmä ongelmaan $ Ly = 0 $, ja $ \psi _ {k} ( \xi ) $ovat mielivaltaisia jatkuvia funktioita.
Green-funktio osittaisdifferentiaaliyhtälöille.
1) Elliptiset yhtälöt. Olkoon $ A $oliptinen differentiaalioperaattori järjestyksellä $ m $, jonka tuottaa differentiaalipolynomi
$$ a ( x, D) = \ \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$$
rajattuun alueeseen $ \Omega \subset \mathbf R ^ {N} $ja homogeenisiin reunaehtoihin $ B _ {j} u = 0 $, missä $ B _ {j} $ovat reunaoperaattorit, joiden kertoimet on määritelty $ \partial \Omega $:n \Omega $:n rajalla, jonka oletetaan olevan riittävän sileä. Funktion $ G ( x, y) $ sanotaan olevan Greenin funktio $ A $:lle, jos mille tahansa kiinteälle $ y \ \ \ \Omega $:ssa $ se täyttää homogeeniset reunaehdot $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $ja jos se yleistettynä funktiona tarkasteltuna täyttää yhtälön
$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \delta ( x – y).$$
Tapauksessa, jossa operaattoreilla on sileät kertoimet ja normaalit reunaehdot, jotka takaavat, että homogeenisen reuna-arvo-ongelman ratkaisu on yksikäsitteinen, Greenin funktio on olemassa ja reuna-arvo-ongelman ratkaisu $ Au = f $ voidaan esittää muodossa (vrt. esim. )
$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
Tällöin yhdenmukaiset estimaatit $ x , y \in \overline \Omega \; $,
$$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \ \ \textrm{ if } m < n,$$$
$$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | | \ \ \textrm{ jos } m = n,$$$
ovat voimassa Greenin funktiolle, ja jälkimmäinen on tasaisesti rajattu, jos $$ m > n $$.
Rajaominaisarvo-ongelma $ Au = \lambda u $ vastaa integraaliyhtälöä
$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
johon sovelletaan Fredholmin teoriaa (vrt. ) (vrt. Fredholmin lauseet). Tässä adjungoidun reuna-arvo-ongelman Green-funktio on $ \overline{ {G ( y, x) }}\; $. Tästä seuraa erityisesti, että itseisarvojen lukumäärä on korkeintaan laskettavissa, eikä äärellisiä raja-arvopisteitä ole; adjungoidulla reuna-arvo-ongelmalla on kompleksikonjugoituja itseisarvoja, joilla on sama kertaluku.
Green-funktiota on tutkittu perusteellisemmin kakkosjärjestyksen yhtälöiden kohdalla, koska periaattoriratkaisun singulaarisuuden luonne pystytään nimenomaisesti kirjoittamaan ulos. Niinpä Laplace-operaattorille Green-funktio on muotoa
$$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \ \ \textrm{ if } n > 2,$$
$$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi {2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n = 2,$$
jossa $ \gamma ( x, y) $on harmoninen funktio $ \Omega $valittu siten, että Greenin funktio täyttää reunaehdon.
Toisen asteen elliptisen operaattorin $ a ( x, D) $, jolla on sileät kertoimet alueella $ \Omega $, jolla on Ljapunov-tyyppinen reuna $ \partial \Omega $, ensimmäisen reuna-arvo-ongelman Green-funktio $ G ( x, y) $ mahdollistaa ongelman ratkaisun ilmaisemisen
$$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \ \tekstrm{ if } \ \ x \in \Omega ,\ \ \ \ \left . u \right | _ _ \partial \Omega } = \phi ,$$$
muodossa
$$$ u ( x) = \ \ \int\limiitit _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy + \int\limiitit _ _ { \partial \Omega }\frac \partial { \partial \nu _ {y} } G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _{y} ,$$
jossa $ \partial / \partial \nu _ {y} $ on operaattorin $ a ( x, D) $ derivaatta ulospäin suuntautuvaa rinnakkaisnormaalia pitkin ja $ d \sigma _ {y} $ on pinta-alaelementti $ \partial \Omega $:lla.
Jos homogeenisella reunaehdolla $ Au = 0 $ on ei-triviaalit ratkaisut, otetaan käyttöön yleistetty Greenin funktio, kuten tavallisissa differentiaaliyhtälöissä. Siten Laplace-operaattorille on käytettävissä yleistetty Greenin funktio, ns. Neumannin funktio.
2) Paraboliset yhtälöt. Olkoon $ P $parabolinen differentiaalioperaattori järjestyksellä $ m $, jonka tuottaa differentiaalipolynomi
$$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \ \frac \partial {\partial t } -\sum _ {| \alpha | \leq m } a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$
$$ x \in \Omega ,\ t > 0,$$
ja homogeeniset alku- ja reunaehdot
$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
jossa $ B _ {j} $ovat reunaoperaattorit, joiden kertoimet on määritelty arvoille $ x \ in \partial \Omega $ ja $ t \geq 0 $. Operaattorin $ P $ Green-funktio on funktio $ G ( x, t, y, \tau ) $, joka mielivaltaisen kiinteän $ ( y , \tau ) $, jossa $ t > \tau \geq 0 $ ja $ y \in \Omega $, täyttää homogeeniset reunaehdot $ B _ {j} = 0 $ ja myös yhtälön
$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t }\right )G ( x, t, y, \tau ) = \ \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
operaattoreille, joilla on sileät kertoimet ja normaalit reunaehdot, mikä takaa ongelman $ pu = 0 $ ratkaisun yksikäsitteisyyden, Greenin funktio on olemassa, ja yhtälön ratkaisu
$$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
täyttää homogeeniset reunaehdot ja alkuehdot $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, on muotoa
$$$ u ( x, t) = \ \ \ \int \limits _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$
$$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$$
Elliptisten tai parabolisten systeemien tutkimuksessa Greenin funktio korvataan Greenin matriisin käsitteellä, jonka avulla näiden systeemien homogeenisia reunaehtoja sisältävien reunaehtojen reuna-arvo-ongelmien ratkaisut ilmaistaan Greenin matriisin oikeiden sivujen vektoreiden ja alkuehtojen tuotteiden integraaleina .
Green-funktiot on nimetty G. Greenin (1828) mukaan, joka ensimmäisenä tutki tällaisten funktioiden erikoistapausta potentiaaliteoriaa koskevissa tutkimuksissaan.
| M.A. Naimark, ”Lineare Differentialoperatoren” , Akademie Verlag (1960) (Käännetty venäjän kielestä) MR0216049 | ||
| M.V. Keldysh, ”On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (venäjäksi) | ||
| V.V. Sobolev, ”Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Käännetty venäjänkielestä) | ||
| L. Bers, F. John, M. Schechter, ”Partial differential equations” , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207 | ||
| L. Gårding, ”Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) s. 55-72 MR64979 | ||
| A. Friedman, ”Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | ||
| S.D. Eidel’man, ”Paraboliset järjestelmät” , North-Holland (1969) (Käännetty venäjänkielestä) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, ”Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, ”Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Vihreä funktio funktioteoriassa.
Kompleksimuuttujan funktioiden teoriassa (reaalisella) Greenin funktiolla tarkoitetaan Laplace-operaattorin ensimmäisen reuna-arvo-ongelman Greenin funktiota, ts. funktiota tyyppiä
$$$ \tag{1 }G ( z, z _ {{0} ) = \ \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ z \in \Omega ,$$$
jossa $ z = x + iy $on kompleksimuuttuja, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $on Greenin funktion napa, $ z _ {0} \in \Omega $, ja $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ on $ z $:n harmoninen funktio, joka saa arvot $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $ rajalla $ \partial \Omega $. Olkoon alue $ \Omega $ yksinkertaisesti yhdistetty ja olkoon $ w = f ( z, z _ {0} ) $ analyyttinen funktio, joka toteuttaa $ \Omega $:n konformisen kuvauksen yksikkökiekkoon siten, että $ z _ {0} $kuvaa kiekon keskipistettä, ja siten, että $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } ( z _ { {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Silloin
$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } } .$$
Jos $ H ( z, z _ {0} ) $ on $ G ( z, z _ {0} ) $:n kanssa konjugoitu harmoninen funktio $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, niin analyyttisen funktion $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ sanotaan olevan kompleksinen Greenin funktio $:n \Omega $:n kompleksinen Green-funktio, jolla on napa $ z {0} $. Kaavan (2) inversiolla saadaan
$$ \tag{3 }f ( z, z _ { {0} ) = \ e ^ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } } .$$
Yhtälöt (2) ja (3) osoittavat, että ongelmat, jotka koskevat $ \Omega $:n konformisen kartoituksen rakentamista kiekkoon ja Greenin funktion löytämistä, ovat ekvivalentteja. Green-funktiot $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $ ovat invariantteja konformikartoituksissa, mikä voi joskus helpottaa niiden tunnistamista (ks. Kartoitusmenetelmä).
Riemannin pintojen teoriassa on kätevämpää määritellä Green-funktiot funktiolle (1) voimassa olevan minimiominaisuuden avulla: Kaikista funktioista $ U ( z, z _ {0} ) $ Riemannin pinnalla $ \Omega $, jotka ovat positiivisia ja harmonisia kun $ z \neq z _ {0} $ ja joilla on $ z _ {0} $:n lähialueella muoto
$$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ { {0} ),$$
jossa $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ on harmoninen funktio, joka on säännöllinen koko pinnalla $ \Omega $, Green-funktio, jos se on olemassa, on pienin, eli $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Tässä tapauksessa Green-funktion olemassaolo on tyypillistä hyperbolisille Riemannin pinnoille. Jos Greenin funktio määritellään näin, se ei enää katoa, yleisesti ottaen, missään Riemannin pinnan (ideaalisella) rajalla. Tilanne on samanlainen potentiaaliteoriassa (ks. myös Potentiaaliteoria, abstrakti). Mielivaltaiselle avoimelle joukolle $ \Omega $, esimerkiksi euklidisessa avaruudessa $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, Green-funktio $ G ( x, x _ {0} ) $ voidaan myös määritellä edellä käsitellyn minimiominaisuuden avulla, mutta jos $ n \geq 3 $, lauseke $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } $ on korvattava ilmaisulla $ \mathop{\rm ln} $ \mathop{\rm ln}. {1/ | x – x _ {0} | } $ kaavaan (4). Yleensä tällainen Greenin funktio ei välttämättä laske nollaan, kun rajaa $ \partial \Omega $ lähestytään. Green-funktiota ei ole olemassa parabolisille Riemannin pinnoille tai tietyille $ \mathbf R ^ {2} $:n alueille (esim. $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $).
| S. Stoilov, ”Kompleksimuuttujan funktioiden teoria” , 1-2 , Moskova (1962) (venäjäksi; käännetty romanista) | |
| R. Nevanlinna, ”Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, ”Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Vrt. myös ja Greenin funktiot klassisessa potentiaaliteoriassa ja Greenin funktiot aksiomaattisessa potentiaaliteoriassa.
Monien kompleksisten muuttujien funktioiden teoriassa, tarkemmin sanottuna pluripotentiaaliteoriassa (vrt. myös Potentiaaliteoriaa) on otettu käyttöön Greenin funktiot kompleksien Monge-Ampèren yhtälölle. Ihannetapauksessa tällaisen Green-funktion tulisi olla perusratkaisu kompleksiselle Monge-Ampère-operaattorille $ M A = \mathop{\rm det} ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial \overline{z}\; _ {j} ) $, jolla on reuna-arvot $ 0 $ ja lisäksi plurisubharmoninen (vrt. myös Plurisubharmoninen funktio). Klassisen yksiulotteisen teorian reilu analogia on mahdollista saavuttaa vain pseudokupera-aloille (vrt. pseudokupera ja pseudokovera). Greenin funktiolle on ehdotettu useita eriarvoisia määritelmiä. Yksi niistä on seuraava. Olkoon $ \Omega $ \mathbf C ^ {n} $:n alue, $ w \ in \Omega $. Olkoon $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $merkitse plurisubharmonisia funktioita (vrt. Plurisubharmoninen funktio) $ \Omega $:lla. Greenin funktio $ \Omega $:lle, jonka napa on $ w $, on
$$$ G ( z , w ) = $$$
$$$ = \ \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _{u} \} ,$$
jossa $ C _ {u} $ on vakio, joka riippuu $ u $:sta. Näin ollen jokaiselle kiinteälle $ w $:lle $ G ( \cdot , w ) $ on plurisubharmoninen. Jos $ n = 1 $, $ – G $ vastaa tavallista Greenin funktiota. Tietenkin halutaan, että $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partial \Omega } = 0 $ ja että $ G ( \cdot , w ) $ on jatkuva funktio $ $:lle, mutta tämä vastaa sitä, että $ \Omega $ on hyperkonveksinen alue (eli pseudokonveksinen alue, joka sallii jatkuvan, rajoitetun plurisubharmonisen sammumisfunktion). Jos näin on, on myös:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, missä $ \delta _ {w} $ on Dirac-mitta kohdassa $ w $,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $as $ z \rightarrow w $ ja $ G $ on jatkuva $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Jos $ \Omega $ on tiukasti kupera, niin $ G $ on symmetrinen: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $ ja $ C ^ \infty $ on $ \Omega \setminus \{ w \} $. Jos $ \Omega $ on vain tiukasti pseudokonveksi, niin $ G $ei tarvitse olla symmetrinen eikä edes $ C ^ {2} $. Voidaan ottaa käyttöön eräänlainen Greenin funktio, johon symmetria on sisällytetty, katso , mutta voidaan menettää 1) ja 2). Kun $ \Omega $ on tiukasti pseudokonveksinen, pätee seuraava epätasa-arvo (L. Lempert):
$$ $ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$
yhdenvertaisesti kuperille alueille. Tässä $ C $ ja $ K $ tarkoittavat vastaavasti Carathéodory- ja Kobayashietäisyyttä.
Jos $ E $ on rajattu joukko $ \mathbf C ^ {n} $:ssa, Greenin funktio, jonka napa on $ \infty $:ssa $ E $:lle, on
$$$ L _ {E} ( z) = $$$
$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _{u} \} ,$$
ja analogisesti yhden muuttujan tapaukseen on olemassa Robinin funktio
$$$ R _ {E} ( z) = \lim\limits \sup _{\begin{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$
ja logaritminen kapasiteetti
$$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$
Yleisille joukoille $ E $, $ \mathop{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Tällä kapasiteetilla on se ominaisuus, että nollakapasiteetin joukot ovat nimenomaan pluri-polaarisia joukkoja.
| L.L. Helms, ”Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969) | ||
| K. Janssen, ”On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) s. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | ||
| N.S. Landkof, ”Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Käännetty venäjänkielestä) MR0350027 Zbl 0253.31001 | ||
| U. Cegrell, ”Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | ||
| J.P. Demailly, ”Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) s. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Greenin funktio tilastollisessa mekaniikassa.
Korrelaatiofunktioiden ajallisesti järjestetty lineaarinen yhdistelmä (vrt. korrelaatiofunktio tilastollisessa mekaniikassa), joka on kätevä välisuuruus vuorovaikuttavien hiukkasten laskennassa.
Greenin funktio tilastollisessa kvanttimekaniikassa.
Kahden ajan kommutaattorilämpötilan Green-funktiot ovat yleisimmin käytettyjä: hidastettu $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, edennyt $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $ja kausaalinen (c). Nämä määritellään suhteilla:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } }( t – t ^ \prime ) = \ \ \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } \equiv$$
$$ \equiv \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } } } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) } } \equiv$$
$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$
jossa
$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\\0, & x < 0 \\\\end{array} ,\ \ \eta = \pm 1 . \right .$$
Tässä $ A ( t) $ ja $ B ( t ^ \prime ) $ ovat ajasta riippuvaisia dynaamisia muuttujia (operaattoreita systeemin tilaavaruudessa Heisenbergin esityksessä); $ \langle \dots \rangle $ merkitsee keskiarvoa Gibbsin tilastollisesta aggregaatista; arvo $ \eta = \pm 1 $ valitaan tarkoituksenmukaisuuden vuoksi. Greenin funktioiden käytön tehokkuus riippuu suurelta osin niiden Fourier-muunnosten spektrikuvausten käytöstä $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. Näin ollen nollasta poikkeavalle lämpötilalle edistyneille ja hidastetuille Greenin funktioille pätee seuraava esitys:
$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ \ \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$
$$ = \ \ \frac{i}{2 \pi } \int\rajat _ \- \infty } \int\rajat _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{ E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$
$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \ \alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Tässä $ J _ {AB} ( \omega ) $ on spektritiheys, $ \theta = kT $, missä $ T \neq 0 $ on absoluuttinen lämpötila ja $ k $ on Boltzmannin vakio. Käytetyssä yksikköjärjestelmässä $ \hbar = h/2 \pi = 1 $, jossa $ h $ on Planckin vakio. Erityisesti pätee seuraava kaava:
$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \left ( e ^ {\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$
Tämän kaavan avulla voidaan laskea spektritiheys (ja siten myös joukko systeemin fysikaalisia ominaisuuksia) Greenin funktion avulla. Samanlaisia spektrikaavoja on olemassa myös nollalämpötilalle. Greenin funktion Fourier-muunnoksen singulariteetit (navat kompleksitasossa) kuvaavat systeemin spektriä ja alkeishäiriöiden vaimennusta. Tärkeimpiä lähteitä Greenin funktion laskemiseksi ovat: a) likimääräinen ratkaisu äärettömään ketjuun lomittuvien yhtälöiden ketjuun, joka johdetaan suoraan Greenin funktion määritelmästä ”jakamalla” ketju fysikaalisten ideoiden perusteella; b) häiriöteorian sarjojen fysikaalisten ”fundamentaalisten” termien yhteenlasku (diagrammien yhteenlasku); tätä menetelmää käytetään pääasiassa kausaalisten Greenin funktioiden laskemisessa, ja se muistuttaa monin tavoin Greenin funktiota kvanttikenttäteoriassa käytettävää Greenin funktioiden laskumenetelmää.
Greenin funktio klassisessa tilastollisessa mekaniikassa
ovat kaksi kertaa hidastettuja (ret) ja kehittyneitä (adv) Greenin funktioita, jotka saadaan korvaamalla operaattorit $ A ( t) $ ja $ B ( t ^ \prime ) $ sopivissa kvanttitapausta varten vahvistetuissa kvanttikaavoissa (varten $ \eta = \pm 1 $) tutkittavan klassisen järjestelmän dynaamisilla tilafunktioilla, ja korvaamalla kommutaattori $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (kvanttikvanttikvanttikvanttikvanttikvanttikvanttikvanttikvanttitulkit) klassisilla (tavallisilla) Poissonin sulkeilla; $ \langle \dots \rangle $ tarkoittaa vastaavasti Gibbsin klassisen aggregaatin keskiarvoistamista. Kausaalisen Greenin funktion käyttöönotolla ei ole tässä mitään merkitystä, koska dynaamisten muuttujien tulo on kommutatiivinen. Vastaavasti kuin kvanttitapauksessa, Greenin funktion Fourier-muunnoksen spektriset esitykset ovat olemassa ja niitä voidaan käyttää tehokkaasti. Tärkein lähde klassisen Green-funktion laskemiseksi on yhtälösysteemi, joka saadaan muuttamalla äärettömän pienesti jonkin korrelaatiofunktioiden yhtälösysteemin Hamiltoniania: Bogoljubovin yhtälöketju, hydrodynaamisten yhtälöiden järjestelmä jne.
| N.N. Bogolyubov, S.V. Tyablikov, ”Retarded and advanced Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) s. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) s. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, ”Kaksoisaikaiset Green-funktiot tilastollisessa fysiikassa” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) s. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) pp. 71-116 MR0122068 | |
| N.N. Bogoljubov, jr., B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) s. 677 | |
| N.N. Bogoljubov jr, B.I. Sadovnikov, ”Eräitä kysymyksiä tilastollisesta mekaniikasta” , Moskova (1975) (venäjäksi) | |
| , Tilastollinen fysiikka ja kvanttikenttäteoria , Moskova (1973) (venäjäksi) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plechko