Kuraattori: Gerard ′t Hooft

Sisältö

Kuvio 4: Kvarkkien ja niiden antihiukkasten kuusi makua ja kolme väriä. Nuolet osoittavat heikon ja vahvan siirtymän

Heikot vuorovaikutukset voitiin nyt onnistuneesti kuvata Yang-Mills-teorialla. Paikallisten mittamuunnosten joukko muodostaa matemaattisen ryhmän \(SU(2)\ kertaa U(1)\ .\). Tämä ryhmä tuottaa 4 fotonilajia (3 \(SU(2)\):lle ja 1 \( U(1)\):lle). Brout-Englert-Higgsin mekanismi hajottaa tämän ryhmän siten, että jäljelle jää \(U(1)\)-muotoinen alaryhmä.Tämä on sähkömagneettinen teoria, jossa on vain yksi fotoni. Kolmesta muusta fotonista tulee massiivisia; ne ovat vastuussa heikoista vuorovaikutuksista, jotka käytännössä näyttävät heikoilta juuri siksi, että näillä voimilla on hyvin lyhyt kantama. Sähkömagnetismin kannalta kaksi näistä välivektoribosoneista, \(W^\pm\ ,\)ovat sähköisesti varattuja, ja kolmas, \( Z^0\ ,\) on sähköisesti neutraali. Kun jälkimmäisen olemassaolo johdettiin ryhmäteoreettisista argumenteista, tämä johti siihen, että ennustettiin heikon vuorovaikutuksen toistaiseksi huomaamaton muoto: neutraalivirtausvuorovaikutus. Tätä teoriaa, joka yhdistää sähkömagnetismin ja heikon voiman yhdeksi teoriaksi, kutsutaan sähköheikoksi teoriaksi, ja se oli ensimmäinen täysin renormalisoituva heikon voiman teoria (ks. luku 5).

4. Kvanttikromodynamiikka

Kun ymmärrettiin, että heikot vuorovaikutukset yhdessä sähkömagneettisten vuorovaikutusten kanssa voidaan liittää Yang-Millsin mittateoriaan,kysyttiin, miten käsitellä vahvaa voimaa, hyvin vahvaa voimaa, jolla on suhteellisen lyhyt vaikutusalue ja joka ohjaa hadronihiukkasten, kuten nukleonien ja ionien, käyttäytymistä. Vuodesta 1964 lähtien oli ymmärretty, että nämä hiukkaset käyttäytyvät ikään kuin ne olisivat rakentuneet kvarkeiksi kutsutuista alayksiköistä. Kvarkkeja tunnettiin kolmea lajia (up, down ja strange), ja myöhemmin löydettiin vielä kolme muuta lajia (charm, top ja bottom). Näillä kvarkkeilla on se erikoinen ominaisuus, että ne pysyvät pysyvästi yhdessä joko kolmosina tai yksi kvarkki pysyy yhdessä yhden antikvarkin kanssa. Kun ne kuitenkin lähestyvät toisiaan hyvin lähekkäin, ne alkavat käyttäytyä vapaammin yksilöinä.

Kuva 5: Feynmanin kaaviot QCD:n gluonien emissiosta. Kvarkit vaihtavat väriä, mutta niiden maku pysyy samana: u pysyy u:na ja d pysyy d:nä.

Tämän piirteen ymmärrämme nyt taas johtuvan Yang-Millsgauge-teoriasta. Tässä meillä on matemaattinen ryhmä \(SU(3)\)paikallisena mittaryhmänä, kun taas nyt symmetriaan ei vaikuta mikään Brout-Englert-Higgsin mekanismi. Yang-Mills-kentän epälineaarisen luonteen vuoksi se vuorovaikuttaa itse itsensä kanssa, mikä pakottaa kentät tulemaan aivan erilaisiin kuvioihin kuin sähkömagneettisessa tapauksessa: muodostuu pyörreviivoja, jotka muodostavat rikkoutumattomia sidoksia kvarkkien välille. Lähietäisyyksillä Yang-Millsin voima heikkenee, ja tämä on ominaisuus, joka voidaan johtaa alkeellisella tavalla käyttäen häiriölaajennuksia, mutta se on kvantittuneen Yang-Millsin järjestelmän ominaisuus, jota tähän asti oli pidetty mahdottomana missään kvanttikenttäteoriassa, jota kutsutaan asymptoottiseksi vapaudeksi. Tämän ominaisuuden löytämisellä on monimutkainen historia.

Kuva 6: Kvanttikromodynaamiset kentät muodostavat pyörteitä, jotka pitävät kvarkit ja antikvarkit (vasemmalla) tai kolmen kvarkin systeemit (oikealla) pysyvästi suljettuina.

\(SU(3)\) implikoi, että jokaisella kvarkkilajilla on kolme tyyppiä, joita kutsutaan väreiksi: ne ovat ”punaisia”, ”vihreitä” tai ”sinisiä”.Kvarkin kenttä on siis 3-komponenttinen vektori sisäisessä ”väriavaruudessa”. Yang-Millsin mittaustransformaatiot kiertävät tätä vektoria väriavaruudessa. Yang-Millsin kentät itsessään muodostavat 3 x 3 -matriisit, joissa on yksi rajoitus (koska Yang-Millsin gaugerotaatiomatriisien determinantti on pidettävä yhtä suurena kuin yksi). Yang-Mills-kentässä on siis 8 värillistä fotonin kaltaista hiukkasta, joita kutsutaan gluoneiksi. Antikvarkit kantavat konjugoituja värejä (”syaani”, ”magenta” tai ”keltainen”). Teoriaa kutsutaan nyt kvanttikromodynamiikaksi (QCD). Se on myös renormalisoituva teoria.

Gluonit pitävät kvarkit tehokkaasti yhdessä siten, että niiden värit summautuvat värineutraaliksi (”valkoinen” tai ”harmaan sävy”). Tämän vuoksi joko kolme kvarkkia tai yksi kvarkki ja yksi antikvarkki voivat istua yhteen muodostaen fyysisesti havaittavan hiukkasen (hadronin). Tätä teorian ominaisuutta kutsutaan pysyväksi kvarkkien rajoittuneisuudeksi. Kenttien vahvasti epälineaarisen luonteen vuoksi kvarkkien rajoittuneisuutta on itse asiassa melko vaikea osoittaa, kun taas asymptoottisen vapauden ominaisuus voidaan osoittaa täsmällisesti. Todellakin, matemaattisesti ilmatiivistä osoitusta supistumisesta ja siihen liittyvästä ilmiöstä, joka on massa-aukko teoriassa (tiukasti massattomien hadronisten kohteiden puuttuminen), ei ole vielä annettu, ja se on aiheena Massachusettsin Cambridgessa sijaitsevan Clay Mathematics Institute -instituutin julkaisemassa teoksessa

5. Lagrangian

Kaikkia kenttäyhtälöitä ei voi valita mielensä mukaan. Niiden on noudatettava ehtoja, kuten energian säilymistä.Tämä merkitsee, että on olemassa toimintaperiaate (toiminta = reaktio), ja tämä periaate ilmaistaan kätevimmin kirjoittamalla teorian Lagrangian. Lagrangian (tarkemmin sanottuna Lagrangen tiheys) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) on systeemin kenttien välinen lauseke. Reaaliselle skalaarikentälle \(\Phi\) se on

\

ja Maxwellin kentille se on

\

, jossa yhteenlasku on Lorentz-kovariantti yhteenlasku Lorentz-indeksien \(\mu,\ \ \nu\ .\)Kenttäyhtälöt voidaan kaikki johtaa tästä lausekkeesta vaatimalla, että toimintaintegraali,

\

jossa \(\mathcal{L}\) on systeemin kaikkien kenttien Lagrangen summa,on stationaarinen kaikkien näiden kenttien infinitesimaalisten vaihteluiden suhteen. Tätä kutsutaan Euler-Lagrangen periaatteeksi,ja yhtälöt ovat Euler-Lagrangen yhtälöitä.

Eulerin teorioille tämä yleistyy suoraan: kirjoitetaan

\

käyttäen lausekkeen (16) lauseketta (16) mittakentille \(F_{\mu\nu}\ ,\) ja lisätäänkaikki muihin kenttiin liittyvät termit, jotka otetaan käyttöön. Kaikki teorian symmetriat ovat Lagrangian symmetrioita, ja kaikkien kytkentävoimien dimensiot voidaan helposti lukea pois myös Lagrangianista,mikä on tärkeää renormalisointimenettelyn kannalta (ks. seuraava luku).

6. Renormalisointi ja anomaliat

Kvanttimekaniikan lakien mukaan kentän energia koostuu energiapaketeista, ja nämä energiapaketit ovat itse asiassa kenttään liittyviä hiukkasia. Kvanttimekaniikka antaa äärimmäisen tarkkoja määräyksiä siitä, miten nämä hiukkaset ovat vuorovaikutuksessa, kunhan kenttäyhtälöt tunnetaan ja ne voidaan esittää Lagrangen muodossa. Teoriaa kutsutaan tällöin kvanttikenttäteoriaksi (Quantum Field Theory, QFT), ja se selittää paitsi sen, miten voimat välittyvät hiukkasten vaihdon kautta, myös sen, että vaihdon pitäisi tapahtua useita kertoja. Monissa vanhemmissa teorioissa nämä moninkertaiset vaihdot aiheuttivat vaikeuksia: niiden vaikutukset näyttävät olevan rajoittamattomia tai äärettömiä. Mittateoriassa pienen etäisyyden rakenne on kuitenkin hyvin tarkasti määrätty mittateorian invarianssin vaatimuksella. Tällaisessa teoriassa voidaan yhdistää moninkertaisen vaihdon äärettömät vaikutukset siihen osallistuvien hiukkasten massojen ja varausten uudelleenmäärittelyyn. Tätä menettelyä kutsutaan normalisoinniksi. Kolmessa avaruus- ja yhdessä aikaulottuvuudessa useimmat gaugeteoriat ovat renormalisoituvia. Näin voimme laskea moninkertaisten hiukkasvaihtojen vaikutukset suurella tarkkuudella, mikä mahdollistaa yksityiskohtaisen vertailun kokeelliseen dataan.

Kuva 7: Feynmanin kaaviot, jotka sisältävät silmukoita moninkertaisten hiukkasvaihtojen takia. Silmukat synnyttävät usein äärettömiä lausekkeita.

Renormalisointi edellyttää, että hiukkasten massat ja kytkentävoimat määritellään hyvin tarkasti. Jos teorian kaikille kytkentäparametreille annetaan massa-ulottuvuus, joka on nolla tai positiivinen, poikkeavien lausekkeiden määrä pysyy hallinnassa. Yleensä vaatimus siitä, että teorian on pysyttävä mittari-invarianttina koko renormalisointimenettelyn ajan, ei jätä epäselvyyksiä määritelmiin. Ei kuitenkaan ole ilmeistä, että yksiselitteisiä, mittainvariantteja määritelmiä ylipäätään on olemassa, sillä mittainvarianssin on pättävä kaikissa vuorovaikutuksissa, kun taas vain muutamat äärelliset lausekkeet voidaan korvata äärellisillä lausekkeilla.

Todistus, joka osoitti, miten ja miksi yksiselitteisiä renormalisoituja lausekkeita voidaan saada, saatiin tyylikkäimmin toteamalla, että mittainvariantit teoriat voidaan formuloida millä tahansa lukumäärällä avaruus-aika-ulottuvuuksia. Oli jopa mahdollista määritellä kaikki Feynmandiagrammit yksiselitteisesti teorioille, joiden avaruusulottuvuudet ovat \(3-\epsilon\ ,\), jossa \(\epsilon\) on äärellinen suure. Raja-arvon \(\epsilon\rightarrow0\) ottaminen edellyttää, että alkuperäisistä, ”paljaista” massa- ja kytkentäparametreista vähennetään pylväät muodossa\(C_n/\epsilon^n\). Tuloksena on joukko yksikäsitteisiä, äärellisiä ja mittausinvarianttisia lausekkeita. Käytännössä havaittiin, että tämä menettely, jota kutsutaan ulottuvuudelliseksi regularisoinniksi ja renormalisoinniksi, on kätevä myös teknisesti monimutkaisten silmukkakaavioiden laskelmien suorittamisessa.

Kuva 8: Kaavio, jossa fermioninen hiukkanen muodostaa suljetun kolmion, joka kytkeytyy kolmeen mittahiukkaseen, on tärkein anomalioiden lähde.

On kuitenkin olemassa erikoistapaus, jossa laajentaminen kanonisesta poikkeaviin ulottuvuuksiin on mahdotonta. Tämä on silloin, kunfermionisilla hiukkasilla on kiraalinen symmetria. Kiraalinen symmetria on epäsymmetria, joka erottaa vasemmalle ja oikealle pyörivät hiukkaset toisistaan, ja sillä onkin ratkaiseva merkitys Standardimallissa.Kiraalinen symmetria on mahdollista vain, jos avaruus on kolmiulotteinen, eikä näin ollen mahdollista dimensioiden uudelleen normalisointia. Joskus kiralsymmetriaa ei voida säilyttää, kun teoriaa renormalisoidaan. Syntyy anomalia, jota kutsutaan kiraalianomaliaksi. Se havaittiin ensimmäisen kerran, kun \(\pi_0\rightarrow\gamma\gamma\) hajoamisamplitudin laskennassa saatiin vastauksia, jotka eivät noudattaneet odotettua symmetriamallia.

Koska Standardimallin mittasymmetriat erottavat vasemmalle pyörivät ja oikealle pyörivät hiukkaset toisistaan (erityisesti heikossa vuorovaikutuksessa syntyy vain vasemmalle pyöriviä neutriinoja),anomaliat herättivät suurta huolta. Sattuu kuitenkin niin, että kaikki anomaaliset amplitudit, jotka vaarantaisivat mittainvarianssin ja vaarantaisivat yhtälöidemme johdonmukaisuuden, kaikki kumoavat ne. Tämä liittyy siihen, että tietyt standardimallin ”suuret yhtenäiset” laajennukset perustuvat anomaliavapaisiin mittaryhmiin (ks. luku 7).

Anomalialla on suora fysikaalinen vaikutus. Topologisesti kieroutunut kenttäkonfiguraatio, jota kutsutaan instantoniksi (koska se edustaa tapahtumaa tietyllä ajanhetkellä), edustaa juuri sitä mittakenttäkonfiguraatiota, jossa anomalia on suurin. Se aiheuttaa joidenkin mittavarausten säilymisen rikkomisen. Kun kyseessä on anomalia, ainakin yksi mukana olevista varauksista ei voi olla mittavaraus, vaan sen on oltava varaus, johon mikään mittapuukenttä ei ole kytketty, kuten baryoninen varaus.Itse asiassa sähköheikon teorian mukaan instantonit aiheuttavat baryonien säilymislakien rikkomisen. Nyt uskotaan, että tämä voisi selittää aineen ja antiaineen välisen epätasapainon, jonka on täytynyt syntyä maailmankaikkeuden varhaisvaiheissa.

7. Standardimalli

Heikon voiman, sähkömagneettisen voiman ja vahvan voiman lisäksi on olemassa alkuainehiukkasiin vaikuttava gravitaatiovoima. Muita alkeisvoimia ei tunneta. Yksittäisten hiukkasten tasolla gravitaatio on niin heikko, että se voidaan useimmissa tapauksissa jättää huomiotta. Oletetaan nyt, että otetaan \( SU(2)\timesU(1)\)\) Yang-Mills-järjestelmää yhdessä Higgsin kentän kanssa kuvaamaan sähkömagnetismia ja heikkoa voimaa, ja lisäämme tähän \(SU(3)\)\) Yang-Mills-teoriaa vahvaa voimaa varten, ja lisäämme siihen kaikki tunnetut aineen alkeiskentät, jotka ovat kvarkit ja leptonit, ja niiden asianmukaiset muunnossäännöt agauge-muunnoksessa; oletetaan, että lisäämme tähän kaikki mahdolliset tavat, joilla nämä kentät voivat sekoittua keskenään, mikä on kokeellisesti havaittu piirre, ja se voidaan selittää kenttien perusluonteisena itseinteraktiona. Tällöin saadaan niin sanottu standardimalli. Se on yksi suuri suurteoria, joka kirjaimellisesti edustaa kaikkea nykyistä käsitystämme subatomisista hiukkasista ja niiden vuorovaikutuksista.

Standardimalli on vahvuutensa velkaa sille, että se on normalisoitavissa. Siihen on tehty lukuisia kokeellisia kokeita ja havaintoja. Se on kestänyt kaikki nämä testit huomattavan hyvin. Yksi tärkeä muutos tuli väistämättömäksi 1990-luvun alkupuolella: leptonisektorilla myös neutriinoilla on pieni määrä massaa, ja niiden kentät sekoittuvat. Tämä ei ollut täysin odottamatonta, mutta erittäin menestyksekkäät neutriinokokeet (erityisesti japanilainen Kamiokande-koe) tekivät nyt selväksi, että nämä vaikutukset ovat todella olemassa. Ne itse asiassa merkitsivät Standardimallin vahvistumista entisestään.

Yhtä osatekijää ei ole vielä vahvistettu: Higgsin hiukkasta.Tämän kohteen havaitsemista odotetaan lähitulevaisuudessa, erityisesti Geneven CERNissä sijaitsevan suuren hadronitörmäyttimen avulla. Standardimallin yksinkertaisimmat versiot edellyttävät vain yhtä sähköisesti neutraalia Higgsin hiukkasta, mutta ”Higgsin sektori” voi olla monimutkaisempi: Higgs voi olla paljon nykyisiä odotuksia raskaampi, tai sitä voi olla olemassa useampi kuin yksi laji, jolloin löytyisi myös sähköisesti varattuja skalaarihiukkasia.

Sandardimalli ei ole matemaattiselta kannalta täydellinen.Äärimmäisen suurilla energioilla (paljon suuremmilla energioilla kuin mitä nykyään hiukkaskiihdyttimissä voidaan saavuttaa) teoria muuttuu luonnottomaksi. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, ettemme enää usko, että kaikki tapahtuu täsmälleen teorian mukaisesti, vaan uusia ilmiöitä on odotettavissa. Suosituin skenaario on uuden symmetrian syntyminen, jota kutsutaan supersymmetriaksi, symmetriaksi, joka yhdistää bosonit ja fermionit (hiukkaset, kuten elektronit ja kvarkit, joiden kuvaamiseen tarvitaan Dirac-kentät).

8. Suuret yhtenäisteoriat

On luonnollista epäillä, että myös sähköheikkojen voimien ja vahvavoimien tulisi liittyä toisiinsa mittakierrosten avulla. Tämä merkitsisi, että kaikki subatomisten hiukkasten väliset voimat todella liittyvät toisiinsa ulottumismuunnosten avulla. Tästä ei ole suoria todisteita, mutta useat seikat näyttävät viittaavan tähän suuntaan. Standardimallin nykyisessä versiossa \(SU(3)\)\) Yang-Mills-kentillä, jotka kuvaavat vahvaa voimaa, on hyvin suuret kytkentävoimat, kun taas \(U(1)\)-sektorilla, joka kuvaa sähköistä (ja osaa heikosta) sektorista, on pieni kytkentävoima. Nyt voidaan käyttää normalisointimatematiikkaa, erityisesti niin sanottua renormalisointiryhmää, näiden voimien tehollisten voimien laskemiseen paljon korkeammilla energioilla. Havaitaan, että \(SU(3)\)-voimien voimat vähenevät asymptoottisen vapauden vuoksi, mutta \(U(1)\)-voimien kytkentävoima kasvaa. \(SU(2)\)-voima vaihtelee hitaammin. Äärimmäisen korkeilla energioilla, jotka vastaavat erittäin lyhyitä etäisyysskaaloja, noin \(10^{-32}\) cm, kolme kytkentävoimaa näyttävät lähestyvän toisiaan, ikään kuin se olisi paikka, jossa voimat yhdistyvät.

Havaittiin, että \(SU(2)\ kertaa U(1)\) ja \(SU(3)\) sopivat melko hyvin ryhmään nimeltä \(SU(5)\ .\). Ne todellakin muodostavat alaryhmän\(SU(5)\ .\) Sitten voidaan olettaa, että Brout-Englert-Higgs-mekanismi hajottaa tämän ryhmän \(SU(2)\times U(1)\timesSU(3)\) -alaryhmäksi. Näin saadaan niin sanottu Grand Unified Field -kenttäteoria. Tässä teoriassa oletetaan kolme sukupolvea offermioneja, jotka kaikki muuntuvat samalla tavalla \(SU(5)\)-muunnoksilla (matemaattisesti ne muodostavat \(\(\mathbf{10}\)- ja \(\(\overline{\”\”mathbf{5}}}\)-edustuksen).

U(SU(5)\)\)-teorian mukaan protoni hajoaa erittäin hitaasti leptoneiksi ja pioneiksi. Hajoamista on etsitty, mutta sitä ei ole löydetty. Tässä mallissa ei myöskään ole helppoa ottaa huomioon neutriinomassaa ja sen sekoittumista. Löydettiin parempi teoria, jossa \( SU(5)\) laajennetaan \(SO(10)\) .\)\(SU(5)\):n \(\mathbf{10}\) ja \(\overline{\mathbf{5}}}\)-esitykset yhdessä yhden oikeakätisen neutriinokentän kanssa yhdistyvät \(SO(10)\):n \(\)\)-esitykseksi(\(\ mathbf{10)\) (yksi kutakin kolmea sukupolvea varten).Tämä suuri yhtenäinen malli asettaa neutriinot samalle tasolle kuin ladatut leptonit. Usein sitä laajennetaan supersymmetriseen versioon.

9. Loppuhuomautukset

Jokainen mittateoria rakennetaan seuraavasti. Ensin valitaan mittaryhmä. Tämä voi olla minkä tahansa määrän irredusoituvien,kompaktien Lie-ryhmien suora tuote, joko sarjasta \(SU(N)\ ,\)\(SO(N)\) tai \(Sp(2N)\ ,\) tai poikkeuksellisista ryhmistä\(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) tai \(E_8\ .\) Sitten valitaanfermioniset (spin 1/2) ja skalaarikentät (spin 0), jotka muodostavat tämän paikallisen mittausryhmän edustajia. Fermionisten kenttien vasemman ja oikean heliciteetin komponentit voivat olla yhdentekeviä representaatioita edellyttäen, että anomaliat kumoavat toisensa.Paikallisen mittausryhmän lisäksi voidaan asettaa myös tarkkoja ja/tai likimääräisiä globaaleja symmetrioita. Lopuksi valitaan Lagrangiaan massatermit ja vuorovaikutustermit, joita kuvataan vapaasti säädettävillä kytkentäparametreilla. Tällaisia parametreja on vain äärellinen määrä edellyttäen, että kaikki vuorovaikutukset valitaan renormalisoitaviksi (tämä voidaan nyt helposti lukea teorian Lagrangianista).

On äärettömän monta tapaa rakentaa mittateorioita lineaarisesti. Näyttää kuitenkin siltä, että mallit, jotka ovat hyödyllisimpiä kuvaamaan havaittuja alkeishiukkasia, ovat suhteellisen yksinkertaisia, jotka perustuvat melko alkeellisiin matemaattisiin ryhmiin ja esityksiin. Voidaankin miettiä, miksi luonto vaikuttaa niin yksinkertaiselta ja pysyykö se sellaisena, kun uusia hiukkasia ja vuorovaikutuksia löydetään. On ajateltavissa, että tarvitaan kehittyneempiä mittateorioita kuvaamaan vuorovaikutuksia sellaisilla energioilla, joita hiukkaskiihdyttimissä ei vielä nykyään voida saavuttaa.

Seuraavia aiheita ovat supersymmetria ja supersäieteoria. Ne ovat uudempia ajatuksia hiukkasrakenteesta ja hiukkassymmetrioista, joissa myös mittainvarianssilla on hyvin perustavanlaatuinen rooli.

• Yang, C N ja Mills, R L (1954). Isotooppisen spinin säilyminen ja isotooppinen Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
• Higgs, P W (1964). Rikkinäiset symmetriat, massattomat hiukkaset ja mittakentät. Phys. Lett. 12: 132.
• Higgs, P W (1964). Rikkinäiset symmetriat ja mittabosonien massat. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
• Higgs, P W (1966). Spontaani symmetrian rikkoutuminen ilman massattomia bosoneja. Phys. Rev. 145: 1156.
• Englert, F ja Brout, R (1964). Symmetrian murtuminen ja mittavektorimesonien massa. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
• Weinberg, S (1967). Leptonien malli. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
• Faddeev, L D ja Popov, V N (1967). Yang-Mills-kentän Feynman-diagrammit. Phys. Lett. 25B: 29.
• ’t Hooft, G (1971). Massattomien Yang-Mills-kenttien renormalisointi. Nucl. Phys. B33: 173.
• ’t Hooft, G (1971). Renormalisoituvat Lagrangianit massiivisille Yang-Mills-kentille. Nucl. Phys. B35: 167.
• Taylor, J C (1971). Wardin identiteetit ja Yang-Mills-kentän varauksen renormalisointi. Nucl. Phys. B33: 436.
• Slavnov, A (1972). Wardin identiteetit mittateorioissa Theor. Math. Phys. 10: 153.
• ’t Hooft, G ja Veltman, M (1972). Mittakenttien regularisointi ja renormalisointi. Nucl. Phys. B44: 189.
• Adler, S L (1969). Aksiaalivektorihuippu spinorsähködynamiikassa Phys. Rev. 177: 2426.
• Bell, J S ja Jackiw, R (1969). A PCAC puzzle: π0→γγ σ-mallissa Nuovo Cim. 60A: 47.
• Adler, S L ja Bardeen, W A (1969). Korkeamman kertaluvun korjausten puuttuminen anomaalisessa aksiaalivektorin divergenssiyhtälössä. Phys. Rev. 182: 1517.
• Bardeen, W A (1969). Anomaaliset Ward-identiteetit spinorikenttäteorioissa. Phys. Rev. 184: 1848.
• Fritzsch, H; Gell-Mann , M ja Leutwyler, H (1973). Värioktettigluonikuvan edut Phys. Lett. 47B: 365.
• De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L ja Quinn, H (1974). Faktaa ja mielikuvitusta neutriinofysiikassa. Rev. Mod. Phys. 46: 391.

Lisätietoja

• Crease, R P ja Mann, C C (1986). The Second Creation: Makers of the revolution in twentieth-century physics, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
• ’t Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (suomennos: ”Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 0521550831.
• ’t Hooft, G (1994). Mittakaavaperiaatteen lumoissa. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapore. ISBN 9810213093.
• ’t Hooft, G (2005). 50 vuotta Yang-Millsin teoriaa World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-256-007-0.
• de Wit, B ja Smith, J (1986). Field Theory in Particle Physics North Holland, Amsterdam. ISBN 0444869999.
• Aitchison, I J R ja Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol and Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
• Itzykson, C ja Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
• Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Katso myös

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin-symmetria, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mekanismi, Gauge-invariantius, Slavnov-Taylor-identiteetit, Zinn-Justin-yhtälö

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/