Tämä teksti on matematiikan ja fysiikan opiskelijoille tarkoitettu jatkotason johdatus differentiaaligeometriaan. Ekspositiossa seurataan kytkennän ja kaarevuuden käsitteiden historiallista kehitystä tavoitteena selittää Chern-Weilin teoria päänippujen ominaisluokista. Matkan varrella törmäämme joihinkin differentiaaligeometrian historian kohokohtiin, esimerkiksi Gaussin Theorema Egregiumiin ja Gauss-Bonnet’n lauseeseen. Koko kirjan läpi kulkevat harjoitukset testaavat lukijan aineiston ymmärtämistä ja havainnollistavat toisinaan teorian laajennuksia. Aluksi lukijalta edellytetään muun muassa ohimenevää perehtyneisyyttä moninaisuuksiin. Ensimmäisen luvun jälkeen tulee tarpeelliseksi ymmärtää ja käsitellä differentiaalimuotoja. De Rham -kohomologian tuntemusta vaaditaan tekstin viimeisen kolmanneksen aikana.

Edellytysmateriaali sisältyy kirjoittajan tekstiin An Introduction to Manifolds, ja se voidaan oppia yhdessä lukukaudessa. Lukijan hyödyksi ja yhteisten merkintöjen vakiinnuttamiseksi liitteessä A muistutetaan monistoteorian perusteista. Lisäksi, pyrkimyksenä tehdä esityksestä itsenäisempi, mukaan on otettu osioita algebrallisista konstruktioista, kuten tensoriproduktiosta ja ulkovoimasta.

Differentiaaligeometria on nimensä mukaisesti geometrian tutkimista differentiaalilaskennan avulla. Se juontaa juurensa Newtoniin ja Leibniziin 1600-luvulla, mutta vasta 1800-luvulla, Gaussin pintoja ja Riemannin kaarevuussensoreita koskevien töiden myötä, differentiaaligeometria kukoisti ja sen moderni perusta luotiin. Viimeisen sadan vuoden aikana differentiaaligeometria on osoittautunut välttämättömäksi fysikaalisen maailman ymmärtämisessä Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa, gravitaatioteoriassa, mittateoriassa ja nyt säieteoriassa. Differentiaaligeometriasta on hyötyä myös muun muassa topologiassa, useissa kompleksimuuttujissa, algebrallisessa geometriassa, kompleksisissa moninaisuuksissa ja dynaamisissa järjestelmissä. Ala on löytänyt sovelluksia jopa ryhmäteoriaan, kuten Gromovin teoksessa, ja todennäköisyysteoriaan, kuten Diaconiksen teoksessa. Ei ole liian kaukaa haettua väittää, että differentiaaligeometrian pitäisi kuulua jokaisen matemaatikon arsenaaliin.